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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.5 - Ex. 27

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva:

y = x + 3 x^((2)/(3))

Passo 1

Nós temos a função y = f (x) = x + 3 x^((2)/(3))

Passo 2

  1. Nosso primeiro passo é calcular o domínio. Nesse caso, são todos os reais.

  2. Agora precisamos achar os interceptos. Intercepto y : f (0) = 0 ; intercepto x : f (x) = 0 , então: x (1 + 3 x^(- (1)/(3))) = 0 . x = 0 ou 3 x^(- (1)/(3)) = - 1 -> (x^(- (1)/(3)))^(- 3) = (- (1)/(3))^(- 3) -> x = - 27

  3. f ( - x ) != f ( x ) , então a curva não é simétrica.

  4. Não há assíntotas.

  5. Encontrando os intervalos de crescimento e decrescimento:

    6. f (x) = x + 3 x^((2)/(3))

    f^' (x) = 1 + (2)/(x^((1)/(3)))

    f^' (x) > 0

    1 + (2)/(x^((1)/(3))) > 0

    (2)/(x^((1)/(3))) > - 1 -> - x^((1)/(3)) < 2 -> x^((1)/(3)) > - 2 -> (x^((1)/(3)))^3 > (- 2)^3

    x > - 8

    f^' (x) < 0

    1 + (2)/(x^((1)/(3))) < 0

    (2)/(x^((1)/(3))) < - 1 -> - x^((1)/(3)) > 2 -> x^((1)/(3)) < - 2 -> (x^((1)/(3)))^3 < (- 2)^3

    x < - 8

    Sendo assim, f cresce em (- 8 , oo) , e decresce em (- oo , - 8) .

  6. Como a função decresce depois cresce, há um valor de máximo local em - 8 .

    7. f (- 8) = - 8 + 3 (- 8)^((2)/(3)) = 4

  7. Achando concavidades e pontos de inflexão por meio da derivada segunda:

    8. f^(' ') (x) = - (2)/(3 x^((4)/(3)))

    f^(' ') (x) < 0 para qualquer x < 0 , assim, a função tem concavidade para baixo em ( - oo , 0 ) , e não possui ponto de inflexão,

    Passo 3

  8. Esboço da função:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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