Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.5 - Ex. 53
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.
Passo 1
Faala aí meu colega, bora matar essa?
Aqui nós temos a função
E aqui vamos seguir o seguinte roteiro para esboçar o gráfico dela.
A. Encontrar o domínio em que a função é definida.
B. Encontrar os interceptos. Que são os pontos onde a função cruza o eixo , isso é:
E o pontos onde a função cruza o eixo , isso é:
C. Verificar se há simetria par, isso é:
Para isso, basta substituir por e verificar se a expressão se mantém a mesma.
D. Procurar por assíntotas horizontais e verticais.
Uma assíntota horizontal é um valor real para o qual a função tende quando tende para infinito:
Já uma assíntota vertical é um valor de no qual a função possui uma descontinuidade e tende para infinito.
E. Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, basta derivar a função e nos intervalos em que a derivada for positiva a função cresce
E nos intervalos em que a derivada for negativa a função decresce
F. Encontrar os pontos de máximo e mínimo local.
Esses pontos ocorrem quando a derivada vale zero e troca de sinal ou quando a derivada possui uma descontinuidade e troca de sinal.
Caso a derivada fosse negativa e depois do ponto ela é positiva, então a função possui um ponto de mínimo local. Se a derivada era positiva e depois do ponto ela é negativa, então a função possui um ponto de máximo local.
G. Encontrar os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
A concavidade é para cima se a derivada segunda for positiva
E a concavidade é para baixo se a derivada segunda for negativa
Por fim, um ponto de inflexão é um ponto onde a derivada segunda vale zero e troca de sinal.
H. Esboçar a função juntando as informações obtidas.
Passo 2
Primeiro a gente procura o domínio da função.
Olhando pra ela, vemos que temos não tem nenhuma restrição, então nosso domínio é .
Agora procuramos intersecções. Não há intercepto em , porque fazendo teremos , e esse valor de não existe.
Fazendo , temos que , então só temos o intercepto .
Passo 3
Testando as possibilidades de simetria:
Não há simetria par.
Não há simetria ímpar.
Passo 4
Como nosso domínio está definido em todos os pontos, não há assíntotas verticais.
Para assíntotas horizontais, faremos:
Primeiro para infinito positivo, temos:
E para infinito negativo, temos:
Como infinito não é um valor real, não temos assíntotas horizontais.
Sabemos apenas que a função vai para infinito positivo tanto para a esquerda quanto para a direita.
Passo 5
A gente vai entrar agora na parte das derivadas, não pode esquecer em!
Primeiro vamos encontrar os intervalos em que a função cresce ou decresce calculando a derivada primeira:
Para , temos:
Multiplicando por :
Usando uma calculadora podemos encontrar um valor aproximado para esse cara aí:
Para , temos:
Assim, temos que está decrescendo em e crescendo em .
Agora é a hora de achar os pontos extremos. Para procurar os pontos mínimos, é importante olhar onde a função decresce, porque quando ela parar de decrescer e mudar o sinal, ali teremos nosso ponto, e isso acontece em e .
Não há valor máximo, pois não tem nenhum local em que a função está crescendo e começa a decrescer.
Passo 6
O último passo antes de montar o gráfico é achar as concavidades e pontos de inflexão, que vamos encontrar calculando a segunda derivada:
Assim, para todo , afinal a função exponencial é sempre positiva. Dessa forma, é côncava para cima em .
Não há ponto de inflexão.
Passo 7
Esboçando o gráfico, temos uma função côncava para cima que possui mínimo local em e que cruza o eixo em .
Resposta
