Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.5 - Ex. 31

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva.

Aqui nós temos a função

E aqui vamos seguir o seguinte roteiro para esboçar o gráfico dela.

A. Encontrar o domínio em que a função é definida.

B. Encontrar os interceptos. Que são os pontos onde a função cruza o eixo , isso é:

E o pontos onde a função cruza o eixo , isso é:

C. Verificar se há simetria par, isso é:

Para isso, basta substituir por e verificar se a expressão se mantém a mesma.

D. Procurar por assíntotas horizontais e verticais.

Uma assíntota horizontal é um valor real para o qual a função tende quando tende para infinito:

Já uma assíntota vertical é um valor de no qual a função possui uma descontinuidade e tende para infinito.

E. Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, basta derivar a função e nos intervalos em que a derivada for positiva a função cresce

E nos intervalos em que a derivada for negativa a função decresce

F. Encontrar os pontos de máximo e mínimo local.

Esses pontos ocorrem quando a derivada vale zero e troca de sinal ou quando a derivada possui uma descontinuidade e troca de sinal.

Caso a derivada fosse negativa e depois do ponto ela é positiva, então a função possui um ponto de mínimo local. Se a derivada era positiva e depois do ponto ela é negativa, então a função possui um ponto de máximo local.

G. Encontrar os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.

A concavidade é para cima se a derivada segunda for positiva

E a concavidade é para baixo se a derivada segunda for negativa

Por fim, um ponto de inflexão é um ponto onde a derivada segunda vale zero e troca de sinal.

H. Esboçar a função juntando as informações obtidas.

Assim, precisamos encontrar o domínio da função, interseção com eixos, limites no infinito, intervalos de crescimento, pontos críticos, fazer um estuda da concavidade e qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.

Bora lá!! 😉

Passo 2

Como a função seno admite qualquer real, o domínio da função é real:

Passo 3

Observe que como o seno é periódico e a função dada só depende de , então a função é periódica de período .

Assim, só precisamos nos preocupar com o intervalo .

Vale observar também que a função é ímpar pois o seno é ímpar.

Passo 4

Vamos achar a interseção com eixo fazendo

Portanto, a função cruza o eixo em .

Para as raízes, temos que

Portanto, temos que

(o que não é possível pois o seno deve ser menor que 1).

Assim, temos apenas que , de modo que no intervalo que estamos considerando, temos apenas e .

Logo, as interseções com os eixos são e .

Passo 5

Como se trata de uma função trigonométrica pura, não faz sentido falar em assíntotas ou analisar o comportamento no infinito: basta fazer o gráfico no intervalo e repeti-lo.

Passo 6

Vamos estudar agora o crescimento e decrescimento da curva fazendo a derivada da função:

Assim, o sinal de será dado pelo sinal de :

De forma que

Quando

No intervalo de a , isso ocorre quando

Esse é o intervalo que a derivada é positiva e portanto a função cresce.

Nos demais intervalos de a , a derivada é negativa e a função decresce. Temos portanto a seguinte tabela.

Assim, a função cresce no primeiro e quarto quadrantes, e decresce nos demais.

A função terá um máximo local em e um mínimo em .

No máximo, a função vale e no mínimo, .

Passo 7

Para a concavidade usaremos a segunda derivada:

Derivando temos:

Assim, quem vai controlar o sinal da concavidade é o seno pois .

Note que o sinal da concavidade será oposto ao sinal do seno.

Portanto,

Quando

Entre e , isso ocorre em .

Desta forma, a concavidade será para cima (positiva) no terceiro e quarto quadrantes, e para baixo (negativa) no primeiro e segundo quadrante.

São pontos de inflexão os pontos e e e por aí vai.

Passo 8

Com essas informações, temos o nosso gráfico. Repare que tivemos informações de até , para o restante basta repetir o que já encontramos por conta da periodicidade da função seno.