Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.5 - Ex. 43
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva
Passo 1
Pra começar, vamos encontrar o domínio da função.
Repare que a única restrição que temos é com relação ao , pois o logaritmando deve ser positivo. Assim,
Logo, o domínio da nossa função será .
Passo 2
Agora vamos ver como fica nossa função em alguns pontos:
Se :
Passo 3
Para analisarmos a simetria. É importante vermos se nossa função é ímpar ou par. Então vem comigo:
Vamos ver como fica o :
Com isso, vemos que e . Portanto, nossa função não será ne par nem ímpar.
Passo 4
Seguindo o roteiro, chegamos à tarefa de analisar as assíntotas.
- Assíntota horizontal:
Logo,
Então, vemos que não teremos nenhuma assíntota horizontal.
Passo 5
Para acharmos os intervalos de crescimento e decrescimento, temos que achar .
Derivando,
Logo,
Para :
Resolvendo a inequação:
Logo, nossa função será crescente no intervalo acima.
Para :
Resolvendo a inequação:
Como :
Assim, nossa função será decrescente no intervalo acima.
Passo 6
Agora temos que achar os valores máximo e mínimos. Para isso, vamos fazer :
Logo,
Resolvendo, temos:
Passo 7
Para terminar, basta analisarmos as concavidades da curva. Para isso, vamos ver o sinal de .
Derivando,
Para :
Logo,
Como já é o domínio da função, isso quer dizer que ela sempre terá concavidade para cima.
Passo 8
Pra finalizar, basta esboçarmos o gráfico de :
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)