Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.5 - Ex. 36
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva
Passo 1
Pra começar, vamos encontrar o domínio da função.
Repare que não temos nenhuma restrição. Assim, o domínio da nossa função será .
Passo 2
Agora vamos ver os pontos de interseção com os eixos.
Se :
Se
Como
Logo,
Resolvendo:
Como :
Passo 3
Para analisarmos a simetria. É importante vermos se nossa função é ímpar ou par. Então vem comigo:
Vamos ver como fica o :
Logo,
Com isso, vemos que nossa função não nem par nem ímpar.
Passo 4
Seguindo o roteiro, chegamos à tarefa de analisar as assíntotas caso existam.
- Assíntota horizontal:
Se fizermos o limite, vamos chegar no seguinte:
e
Portanto, o limite não existe. Logo, não teremos assíntotas horizontais.
Passo 5
Para acharmos os intervalos de crescimento e decrescimento, temos que achar .
Assim,
Isto é,
Para :
Resolvendo a inequação:
Logo, nossa curva será crescente no intervalo acima.
Para :
Resolvendo:
Então nossa curva será decrescente no intervalo acima.
Passo 6
Agora temos que achar os valores máximo e mínimos. Para isso, vamos fazer :
Logo,
Então podemos ter ou .
Ou
Isto é,
Passo 7
Para acharmos a concavidade da curva vamos analisar seu crescimento e decrescimento. Vem comigo!
Como a curva cresce de até e decresce até o . Isso significa que em teremos um ponto de máximo, portanto, concavidade para baixo no intervalo . O mesmo ocorre para todos os valores da forma .
Outra coisa que sabemos é que a curva é decresce de até e começa a crescer até . Isso quer dizer que teremos um ponto de mínimo, portanto, concavidade para baixo no intervalo . O mesmo irá ocorrer para valores da forma .
Passo 8
Pra finalizar, basta esboçarmos o gráfico de :
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)