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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 63

Cada um dos Exercícios 59-80 fornece a primeira derivada de uma função contínua y = f(x). Determine y" e então use os passos 2-4 do procedimento para construção de gráficos da página 237 para esboçar a forma geral do gráfico de f.

63-

y ' = x ( x 2 - 12 )

Passo 1

Fazendo y’=0 temos os pontos críticos:

x x 2 - 12 = 0

Logo para essa função ser 0 ou:

x = 0

Ou

x 2 - 12 = 0

Resolvendo a segunda equação temos:

x = ± 12

Passo 2

Fazendo a segunda derivada a partir da primeira temos a seguinte regra do produto:

y ' ' = x ' x 2 - 12 + ( x ) ( x 2 - 12 ) '

y ' ' = x 2 - 12 + ( x ) ( 2 x )

y ' ' = 3 x 2 - 12

y ' ' = 3 ( x + 2 ) ( x - 2 )

Testando agora os pontos críticos na derivada segunda temos:

y ' ' 0 = 3 0 + 2 0 - 2 = - 12 → n e g a t i v o

Logo x = 0 representa ponto de máximo local

Para x = 12 ≈ 3.464 :

y ' ' 12 = 3 3.464 + 2 3.464 - 2 → p o s i t i v o

x = 12 representa um ponto de mínimo local

Para x= - 12 ≈ - 3.464

y ' ' - 12 = 3 - 3.464 + 2 - 3.464 - 2 → p o s i t i v o

x = - 12 representa um ponto de mínimo local

Agora vendo se tem pontos de inflexão:

3 x + 2 x - 2 = 0

Temos dois pontos de inflexão que se localizam em x = ± 2  

Passo 3

Organizando nossos intervalos, que são muitos, temos:

Pontos de teste: -4,-3,-1,1,3,4

Resposta

y ' ' = 3 ( x + 2 ) ( x - 2 )

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