Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 68
Use o roteiro para esboçar o gráfico da curva. No passo D, ache a equação para assíntota obliqua.
Passo 1
Falaaa aeee, vamos para mais uma questão?
Nós temos a função
E aqui vamos seguir o seguinte roteiro para esboçar o gráfico dela.
A. Encontrar o domínio em que a função é definida.
B. Encontrar os interceptos. Que são os pontos onde a função cruza o eixo , isso é:
E o pontos onde a função cruza o eixo , isso é:
C. Verificar se há simetria par, isso é:
Para isso, basta substituir por e verificar se a expressão se mantém a mesma.
Verificar se há simetria ímpar, isso é:
D. Procurar por assíntotas horizontais e verticais.
Uma assíntota horizontal é um valor real para o qual a função tende quando tende para infinito:
Já uma assíntota vertical é um valor de no qual a função possui uma descontinuidade e tende para infinito.
Aqui também vamos procurar por assíntota oblíqua. Para isso basta dividir o numerador pelo denominador da função. O quociente encontrado se for uma função de primeiro grau é uma assíntota oblíqua.
E. Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, basta derivar a função e nos intervalos em que a derivada for positiva a função cresce
E nos intervalos em que a derivada for negativa a função decresce
F. Encontrar os pontos de máximo e mínimo local.
Esses pontos ocorrem quando a derivada vale zero e troca de sinal ou quando a derivada possui uma descontinuidade e troca de sinal.
Caso a derivada fosse negativa e depois do ponto ela é positiva, então a função possui um ponto de mínimo local. Se a derivada era positiva e depois do ponto ela é negativa, então a função possui um ponto de máximo local.
G. Encontrar os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
A concavidade é para cima se a derivada segunda for positiva
E a concavidade é para baixo se a derivada segunda for negativa
Por fim, um ponto de inflexão é um ponto onde a derivada segunda vale zero e troca de sinal.
H. Esboçar a função juntando as informações obtidas.
Passo 2
O primeiro passo (A) é determinar o domino da função. Ou seja, os pontos onde não há problema, nesse caso, como para a função não esta definida (estaríamos dividindo por zero ) , então
O segundo passo (B) é encontrar as interseções com os eixos coordenados.
No nosso caso,
Ou seja, o gráfico passa na origem.
Passo 3
O terceiro passo (C) é determinar a simetria, ou seja, se a função é par ou ímpar. No nosso caso, a função não é par e nem ímpar.
E isso é diferente tanto de quanto de .
Logo, nossa função é sem simetria.
Passo 4
O quarto passo (D) é encontrar as assíntotas.
Como , façamos
E,
Sendo assim, , é assintota vertical.
Agora, precisamos achar a assíntota obliqua. Como,
Para encontrar esses valores, você deve fazer a divisão de polinômio do numerador pelo denominador. O quociente resulta em e o resto em . O quociente é a assíntota oblíqua.
Daí,
Então a reta é assíntota obliqua .
Passo 5
Vamos para o passo E. Ou seja, achar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente além de nossos candidatos a máximo e mínimo.
Para isso, façamos
Sua derivada é portanto:
Colocando em evidência, temos:
Fazendo uma análise do sinal dessa derivada temos que:
é sempre positivo.
será positivo quando:
E será positivo quando:
Fazendo um estudo de sinais temos:
Perceba que
, ou seja, é decrescente .
E, , ou seja, é crescente .
Passo 6
No passo F, devemos usar o teste da primeira derivada. Ou seja, achar os máximos e mínimos, se eles existirem.
Como sai de crescente para decrescente em o ponto de máximo local é
Como sai de decrescente para crescente em , esse seria um ponto de mínimo local, no entanto não é definido.
Passo 7
Vamos ao penúltimo passo, o G. Aqui devemos analisar a concavidade da função, para isso façamos
Tomando a derivada da derivada, para termos a segunda derivada, temos:
Podemos simplificar um :
Realizando as contas no numerador:
Fazendo um estudo de sinais dessa segunda derivada, temos que o denominador é sempre positivo pois está elevando a um expoente par.
Dessa forma, quem dita o sinal da segunda derivada é o numerador.
Ou seja, a segunda derivada é positiva quando e negativa quando .
Temos que
se , então é côncava para cima em .
E, ou seja, é côncava para baixo em
Passo 8
Aqui vamos juntar todos os passos, ou seja, vamos desenhar o gráfico.
Resposta
