Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x, do gráfico da função dada.

d) f(x) = raiz(x) , 1 ≤ x ≤ 4

Passo 1

Para o calcular a área da superfície gerada pela rotação em torno do eixo precisamos aplicar a seguinte formula:

A x = 2 π ∫ b a f x 1 + f ' x 2 d x

Sendo f x = x , vamos calcular sua derivada!

f ' x = 1 2 x

Passo 2

Substituindo f ' x :

A x = 2 π ∫ 1 4 x 1 + 1 4 x d x

Efetuando a multiplicação:

A x = 2 π ∫ 1 4 x + 1 4 d x

Vamos agora substituir x + 1 4   por u :

u = x + 1 4

Então d u = d x

Assim podemos calcular a primitiva desta integral!

∫ x + 1 4 d x = ∫ u 1 2 d u = 2 3 u 3 + C

Passo 3

Mas u foi só uma ferramenta usada para calcular a integral, por isso devemos agora voltar a variável x !!

∫ x + 1 4 d x = 2 3 x + 1 4 3 + C

Agora que sabemos a primitiva podemos calcular a nossa área :

A x = 2 π ∫ 1 4 x + 1 4 d x = 2 π 2 3 4 + 1 4 3 - 2 π 2 3 1 + 1 4 3

A x = π 6 17 17 - 5 5

A x = π 32 3 2 - ln ⁡ 2 + 1

Resposta

A x = π 6 17 17 - 5 5

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