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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.4 - Ex. 1b

Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x, do gráfico da função dada.

b) f x = R 2 - x 2 , - R ≤ x ≤ R   R > 0

Passo 1

Para o calcular a área da superfície gerada pela rotação em torno do eixo precisamos aplicar a seguinte formula:

A x = 2 π ∫ b a f x 1 + f ' x 2 d x

Sendo f x = R 2 - x 2 , vamos calcular sua derivada!

Para u = R 2 - x 2

f ' x = u 1 2 ' u '

f ' x = u ' 2 u

Voltando para variável x:

f ' x = - x R 2 - x 2  

Passo 2

Substituindo f ' x :

A x = 2 π ∫ - R R R 2 - x 2 1 + x 2 R 2 - x 2 d x

Efetuando a multiplicação de raízes chegaremos em resultado incrível!

A x = 2 π = ∫ - R R R 2 - x 2 + x 2 d x

A x = 2 π ∫ - R R R 2 d x = 2 π ∫ - R R R d x

Atenção ao detalhe garotada, só podemos retirar o R da raiz sem modulo porque o enunciado já nos garantiu que R > 0 !

Passo 3

Nosso intervalo de integração será x=-R e x=R:

A x = 2 π ∫ - R R R d x =   2 π R . R - R . - R = 2 π R 2 + R 2

A x = 4 π R 2

Resposta

A x = 4 π R 2

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