Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.11 - Ex. 17
- Use a série binomial para encontrar a série de Maclaurin de .
- Use a parte a) para avaliar .
Passo 1
Para obtermos uma série de potências da nossa função, vamos utilizar a abordagem de séries binomiais. Para isto, precisamos começar relembrando como podemos escrever uma série binomial. Portanto, seja , então,
Portanto, nosso primeiro passo é escrever a função da questão como esta função , identificando cada um dos termos. Logo,
Agora, vamos substituir o valor e no lugar de colocar na série. Sendo assim, temos:
Agora, precisamos expandir esse termo binomial e descobrir o padrão.
Passo 2
Vamos começar a expandir o termo binomial e entender o padrão dele.
Portanto, o padrão para é:
Sendo assim, a nossa série é
E esta é a nossa série.
Passo 3
Agora que a gente resolveu a letra a), podemos partir para a letra b).
Um questionamento surge ao lermos o que a letra b): qual o motivo da questão pedir para usarmos a série que obtivemos na letra a) para explicar uma função totalmente diferente? Como assim???
A nossa série descreve a nossa função . Se queremos saber a décima derivada dela, devemos derivar toda a nossa série 10 vezes e depois aplicar o ponto . O único termo que será diferente de zero será o termo de ordem 5 da nossa série.
Isto decorre do seguinte ponto: termos de ordem menor que 5 são multiplicados por , por exemplo. Estes termos, quando derivados mais de 8 vezes, todos serão iguais a 0.
Já os termos maiores vão continuar existindo. Mas quando , eles serão iguais a 0. Portanto, teremos que derivar o seguinte termo 10 vezes:
Derivando-o, teremos,
E por fim, calculando-o, teremos: