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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 30

Utilize séries para avaliar os limites nos Exercícios 29-40.

30.   l i m x → 0 e x -   e - x x

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo bem? Que ótimo, vem comigo para mais uma questão!

Para avaliar o limite que foi dado, vamos começar usando a série da exponencial

e x = 1 + x + x 2 2 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + x n n ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Agora, vamos subtrair 1 - x dos dois lados

e x - ( 1 + x ) = 1 + x + x 2 2 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + x n n ! +   ⋅ ⋅ ⋅   - ( 1 + x )

e x - ( 1 - x ) = x 2 2 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + x n n ! +   ⋅ ⋅ ⋅  

Beleza, agora é só dividir por x 2 :

e x -   ( 1   -   x ) x 2 = 1 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + x n - 2 n ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 2

Agora que temos a expansão em série, podemos tomar o limite

l i m x → 0 e x   -   (   1   +   x ) x 2 = l i m x → 0 1 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + x n - 2 n ! +   ⋅ ⋅ ⋅

l i m x → 0 e x -   ( 1   +   x ) x 2 = 1 2 ! + l i m x → 0 x 3 3 ! + l i m x → 0 x 4 4 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + l i m x → 0 x n - 2 n ! +   ⋅ ⋅ ⋅

l i m x → 0 e x -   ( 1   +   x ) x 2 = 1 2 ! + 0 +   ⋅ ⋅ ⋅   + 0 +   ⋅ ⋅ ⋅   = 1 2

Resposta

l i m x → 0 e x -   ( 1   +   x ) x 2 = 1 2

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