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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 38

Utilize séries para avaliar os limites nos Exercícios 29-40.

38. l i m x   →   2 x 2   -   4 l n ( x - 1 )

Passo 1

Fala, pessoal! Mais uma questão, bora lá? Essa aqui é um pouquinho complicada, mas pode confiar que nós vamos conseguir!

Como o limite é x   →   2 , então não podemos usar a série da tabela 10.1. No caso, temos que usar a série de Taylor em torno de x = 2 :

l n ( x - 1 ) = l n ( 1 ) + d d x ( l n ( x - 1 ) ) | x = 2 ( x - 2 ) + 1 2 ! d 2 d x 2 ( l n ( x - 1 ) ) | x = 2 ( x - 2 ) 2 + ⋯

l n ( x - 1 ) = d d x ( l n ( x - 1 ) ) | x = 2 ( x - 2 ) + 1 2 ! d 2 d x 2 ( l n ( x - 1 ) ) | x = 2 ( x - 2 ) 2 + ⋯

Passo 2

Vamos calcular as derivadas separadamente:

d d x ( l n ( x - 1 ) ) | x = 2 = 1 x - 1 | x = 2 = 1

d 2 d x 2 ( l n ( x - 1 ) ) | x = 2 = d d x ( 1 x - 1 ) | x = 2 = - 1 ( x - 1 ) 2 | x = 2 = - 1

d 3 d x 3 ( l n ( x - 1 ) ) | x = 2 = d d x - 1 ( x - 1 ) 2 | x = 2 = 2 ( x - 1 ) 3 | x = 2 = 2

d 4 d x 4 ( l n ( x - 1 ) ) | x = 2 = d d x 2 ( x - 1 ) 3 | x = 2 = - 2 ⋅ 3 ( x - 1 ) 4 | x = 2 = - 3 !

Então, nós conseguimos ver um padrão:

d n d x n ( l n ( x - 1 ) ) | x = 2 = ( - 1 ) n + 1 ( n - 1 ) !

Assim, a série fica:

l n ( x - 1 ) = ( x - 2 ) - 1 2 ! ( x - 2 ) 2 + 2 3 ! ( x - 2 ) 3 - 3 ! 4 ! ( x - 2 ) 4 +   ⋯

l n ( x - 1 ) = ( x - 2 ) 1 - 1 2 ! ( x - 2 ) + 2 3 ! ( x - 2 ) 2 - 3 ! 4 ! ( x - 2 ) 3 +   ⋯

Passo 3

Agora, usamos a série do passo anterior para obter

x 2   -   4 l n ( x - 1 ) = ( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x - 2 ) 1 - 1 2 ! ( x - 2 ) + 2 3 ! ( x - 2 ) 2 - 3 ! 4 ! ( x - 2 ) 3 +   ⋯ = x + 2 1 - 1 2 ! ( x - 2 ) + 2 3 ! ( x - 2 ) 2 - 3 ! 4 ! ( x - 2 ) 3 +   ⋯

Só falta tomar o limite e correr pro abraço:

l i m x   →   2 x 2   -   4 l n ( x - 1 )   = l i m x   →   2 x + 2 1 - 1 2 ! ( x - 2 ) + 2 3 ! ( x - 2 ) 2 - 3 ! 4 ! ( x - 2 ) 3 +   ⋯  

⇒ l i m x   →   2 x 2   -   4 l n ( x - 1 )   = l i m x   →   2 x + 2 l i m x   →   2 1 - 1 2 ! ( x - 2 ) + 2 3 ! ( x - 2 ) 2 - 3 ! 4 ! ( x - 2 ) 3 +   ⋯  

⇒ l i m x   →   2 x 2   -   4 l n ( x - 1 )   = 4 1   =   4  

Maravilha, mais uma questão concluída com sucesso! Nos vemos na próxima!

Resposta

l i m x   →   2 x 2   -   4 l n ( x - 1 )   =   4

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