Utilize a Equação 4 para mostrar que

cos(θ) = (e^(iθ) + e^(-iθ)) / 2 e sen(θ) = (e^(iθ) - e^(-iθ)) / (2i) .

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo bem?

Essa questão pede para a gente usar a equação 4

e^(i theta) = c o s theta + i s e n theta

para mostrar que

c o s theta = (e^(i theta) + e^(- i theta))/(2) e s e n theta = (e^(i theta) - e^(- i theta))/(2 i)

Vamos fazer isso por substituição direta, então, se liga aí nos próximos passos. Mas, antes, temos que notar que

e^(i theta) = c o s theta + i s e n theta

e

e^(- i theta) = c o s theta - i s e n theta

Passo 2

Agora, basta somar as duas equações e dividir por dois. Vamos lá:

(e^(i theta) + e^(- i theta))/(2) = (1)/(2) [c o s theta + i s e n theta + c o s theta - i s e n theta]

=> (e^(i theta) + e^(- i theta))/(2) = (1)/(2) 2 c o s theta

=> c o s theta = (e^(i theta) + e^(- i theta))/(2)

Passo 3

Por último, vamos subtrair as duas equações e dividir por 2 i :

(e^(i theta) - e^(- i theta))/(2 i) = (1)/(2 i) [c o s theta + i s e n theta - c o s theta + i s e n theta]

=> (e^(i theta) + e^(- i theta))/(2 i) = (1)/(2 i) 2 i s e n theta

=> s e n theta = (e^(i theta) + e^(- i theta))/(2 i)

Até que não foi tão complicado, não é mesmo? Espero que tenham gostado e nos vemos na próxima!

Resposta

Veja a resolução acima.

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