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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 33

Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.

1 - x 2 / 3

Passo 1

Fala, pessoal!!

Essa questão pede pra acharmos a série de potência dessa função que ele deu a partir da série binominal, que é essa aqui:

1 + x k = ∑ n = 0 ∞ k n x n  

Então a primeira coisa vai ser a gente reescrever a função do enunciado pra ficar alguma coisa parecida com essa da série binomial.

Depois, vamos expandir os coeficientes binomiais pra encontrar um padrão pra série.

Por último, vamos usar o teste da razão (ou da raiz) pra calcular o raio de convergência.

Passo 2

Podemos reescrever a função como

1 - x 2 / 3 = 1 + - x 2 / 3

Então podemos colocar na série binomial, com k = 2 / 3 , e no lugar de x vai ficar - x :

1 - x 2 3 = ∑ n = 0 ∞ 2 3 n - x n

Agora vamos expandir os coeficientes binomiais 2 3 n e encontrar um padrão.

Passo 3

Vamos lá:

2 3 0 = 1

2 3 n = 2 3 ∙ 2 3 - 1 ∙ … ∙ 2 3 - n - 1 n ! ,   n ≥ 1

Assim,

2 3 1 = 2 3 1 ! = 2 3

2 3 2 = 2 3 ∙ 2 3 - 1 2 ! = - 2 ∙ 1   3 2 ∙ 2 !

2 3 3 = 2 3 ∙ 2 3 - 1 ∙ 2 3 - 2 3 ! = 2 ∙ 1 ∙ 4 3 3 ∙ 3 !

2 3 4 = 2 3 ∙ 2 3 - 1 ∙ 2 3 - 2 ∙ 2 3 - 3 4 ! = - 2 ∙ 1 ∙ 4 ∙ 7 3 4 ∙ 4 !

Vamos perceber os padrões:

  1. Quando n é par, o coeficiente é negativo, e quando n é ímpar, o coeficiente é positivo, então vai aparecer um termo - 1 n - 1
  2. Os numeradores são sempre o número 2 multiplicado por um produto de números de 3 em 3 , a partir do 1 até o 3 n - 5
  3. Os denominadores são 3 n ∙ n !

Ou seja, podemos generalizar:

2 3 n = - 1 n - 1 2 ∙ 1 ∙ 4 ∙ 7 ∙ … ∙ 3 n - 5 3 n ∙ n !  

Substituindo na série:

1 - x 2 3 = ∑ n = 0 ∞ 2 3 n - x n

= ∑ n = 0 ∞ - 1 n - 1 2 ∙ 1 ∙ 4 ∙ 7 ∙ … ∙ 3 n - 5 3 n ∙ n ! - x n =

= ∑ n = 0 ∞ - 1 n - 1 2 ∙ 1 ∙ 4 ∙ 7 ∙ … ∙ 3 n - 5 3 n ∙ n ! - 1 n x n =

1 - x 2 3 = ∑ n = 0 ∞ - 2 ∙ 1 ∙ 4 ∙ 7 ∙ … ∙ 3 n - 5 3 n ∙ n ! x n

Passo 4

Vamos usar o teste da razão para calcular o raio de convergência.

Para isso:

a n = - 2 ∙ 1 ∙ 4 ∙ 7 ∙ … ∙ 3 n - 5 3 n ∙ n ! x n

a n + 1 = - 2 ∙ 1 ∙ 4 ∙ 7 ∙ … ∙ 3 n - 5 ∙ 3 n - 2 3 n + 1 ∙ n + 1 ! x n + 1

a n + 1 a n = - 2 ∙ 1 ∙ 4 ∙ 7 ∙ … ∙ 3 n - 5 ∙ 3 n - 2 ∙ x n + 1 3 n + 1 ∙ n + 1 ! ∙ - 1 3 n ∙ n ! 2 ∙ 1 ∙ 4 ∙ 7 ∙ … ∙ 3 n - 5 ∙ x n

= 2 ∙ 1 ∙ 4 ∙ 7 ∙ … ∙ 3 n - 5 ∙ 3 n - 2 2 ∙ 1 ∙ 4 ∙ 7 ∙ … ∙ 3 n - 5 ∙ x n + 1 x n ∙ 3 n 3 n + 1 ∙ n ! n + 1 ! =

= 3 n - 2 x 3 n + 1

Calculando o limite com n → ∞ :

lim n → ∞ ⁡ 3 n - 2 x 3 n + 1 = lim n → ∞ ⁡ 3 n - 2 3 n - 3 ∙ x =

= x

Pelo teste da razão, a série converge para x < 1 .

Logo, o raio de convergência é R = 1 .

Resposta

1 - x 2 3 = ∑ n = 0 ∞ - 2 ∙ 1 ∙ 4 ∙ 7 ∙ … ∙ 3 n - 5 3 n ∙ n ! x n

R = 1

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