Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.11 - Ex. 13
- Aproxime por um polinômio de Taylor com grau em .
- Use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação quando estiver no intervalo dado.
- Verifique seu resultado na parte (b) traçando
Passo 1
E aí futuro cientista, preparado para usar todo seu talento em cálculo nessa questão de matemática? Vamos arrebentar!
Vamos começar encontrando o polinômio de Taylor de grau 2 para centrado em . Isso envolve calcular as derivadas de até a segunda ordem e substituí-las na fórmula da série de Taylor.
Depois, vamos utilizar a desigualdade de Taylor para estimar o erro da aproximação no intervalo . Isso requer calcular a terceira derivada de e determinar um valor M que limite essa derivada no intervalo dado.
E, finalmente, traçaremos o gráfico de usando a definição para verificar visualmente a precisão da aproximação.
Partiuuu!!!! 
Passo 2
(a) Vamos encontrar o polinômio de Taylor de grau 2 para centrado em .
A fórmula da série de Taylor é:
Para precisamos calcular até a segunda derivada de .
Calculando as derivadas e substituindo no centro :
Então o polinômio de Taylor de grau 2 é:
Substituindo os valores encontrados:
Passo 3
(b) Para usar a desigualdade de Taylor temos a seguinte relação, se , então
Então para estimar o erro, vamos precisar primeiramente da terceira derivada
Agora precisamos de um valor que seja maior que essa função em todo o intervalo , para isso podemos analisar o seguinte, em todo o intervalo a função de está decrescente, então se pegarmos o menor valor do intervalo () e substituirmos, podemos dizer que
Então podemos usar
Passo 4
Temos então que
Agora precisamos do valor de , se manipularmos o intervalo subtraindo em todas as partes da igualdade
Podemos colocar em módulo
Elevando ao cubo
Logo
Passo 5
(c) Traçando o gráfico de , para achar a função vamos usar a definição que diz
No plano
Pelo gráfico parece que o erro é menor que .
Resposta
