Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 11.3 - Ex. 33a
33- (a) Use a soma dos dez primeiros termos para estimar a soma da série . Quão boa é essa estimativa?
Passo 1
E aí, galerinha? Tudo certo?
Primeiro, nós vamos precisar estimar a soma de:
Para isso precisamos calcular:
Com .
Quando a questão pergunta o quão boa é nossa estimativa ela quer saber qual o erro entre o valor que chegamos só com os 10 primeiros termos e o valor real da soma.
No nosso caso:
Lembrando que quando um dos nossos limites de integração é temos uma integral imprópria. Caso não se lembre, quando temos uma integral imprópria, que é o nosso caso, para resolvermos temos que aplicar o seguinte limite:
Vamos passo a passo que vai ser mais fácil de entender!
Passo 2
A primeira parte da equação é braçal mesmo. Temos que fazer a conta na mão (ou na calculadora) rsrsrs
Usando:
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Metade do caminho! Vamo que vamo!
Para :
Para :
Para :
Para :
Ufa! Finalmente estamos em nossa última soma. Para :
Então:
Passo 3
Para estimarmos o erro desta aproximação, basta realizarmos o seguinte cálculo de integral imprópria:
Resolvendo a integral, teremos:
Aplicando os limites de integração e :
Resolvendo o limite, vemos que quanto maior menor é o valor de , que vai tender a zero. Assim, ficaremos com:
Logo, o erro será no máximo .