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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 58

Calcule a integral completando o quadrado e usando a fórmula 6.

∫ 2 x + 1 4 x 2 + 12 x - 7 d x

Passo 1

Como o enunciado pede, primeiro vamos completar o quadrado no denominador e depois usar a fórmula 6 apresentada no livro:

∫ 1 x 2 - a 2 d x = 1 2 a ln ⁡ x - a x + a + C

Vamos completar o quadrado no denominador:

4 x 2 + 12 x - 7 = 4 x 2 + 12 x + 9 - 7 - 9 = 2 x + 3 2 - 16

Assim,

∫ 2 x + 1 4 x 2 + 12 x - 7 d x = ∫ 2 x + 1 2 x + 3 2 - 16 d x

Passo 2

Vamos fazer a mudança de variável u = 2 x + 3 , de modo que d u = 2 d x . Assim

∫ 2 x + 1 2 x + 3 2 - 16 d x = 1 2 ∫ u - 3 + 1 u 2 - 16 d u = 1 2 ∫ u u 2 - 16 d u - ∫ 1 u 2 - 16 d u

A primeira integral é calculada fazendo w = u 2 - 16 ⇒ d w = 2 u d u . Assim,

1 2 ∫ u u 2 - 16 d u = 1 4 ∫ 1 w d w = 1 4 ln ⁡ | w | = 1 4 ln ⁡ | u 2 - 16 | = 1 4 ln ⁡ | 4 x 2 + 12 x - 7 |

Já a segunda integral é calculada usando a fórmula 6:

∫ 1 u 2 - 16 d u = 1 8 ln ⁡ u - 4 u + 4 = 1 8 ln ⁡ 2 x - 1 2 x + 7

Assim,

∫ 2 x + 1 4 x 2 + 12 x - 7 d x = 1 4 ln ⁡ | 4 x 2 + 12 x - 7 | - 1 8 ln ⁡ 2 x - 1 2 x + 7 + C

Resposta

1 4 ln ⁡ | 4 x 2 + 12 x - 7 | - 1 8 ln ⁡ 2 x - 1 2 x + 7 + C

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