Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.5 - Ex. 60

60. Se , use a tabela para estimar o valor de .

Passo 1

Oie, bora resolver mais uma?

A função é definida como

Isso significa que a função é uma composição de consigo mesma. Quando temos uma composição de funções, precisamos aplicar a função interna primeiro e, em seguida, aplicar a função externa. Neste caso, é obtido aplicando duas vezes.

Na tabela fornecida, procuramos os valores de quando Achamos que

Como a tabela não fornece diretamente os valores da derivada de podemos usar uma técnica de diferenciação numérica para estimar . Usamos a diferença dividida finita entre os valores de próximos a para isso.

Usando a regra da cadeia, sabemos que . Como já estimamos substituímos esse valor na expressão. Além disso, encontramos usando a mesma técnica de diferença dividida finita, pois também precisamos de no ponto onde

Substituímos os valores estimados de na expressão de para obter a estimativa final.

Ao seguir esses passos, podemos estimar usando os valores da tabela fornecida e técnicas de diferenciação numérica.

Passo 2

A regra da cadeia diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

Só que nesse caso a função que está dentro é a mesma que está fora, então podemos escrever:

Como queremos , vamos substituir o por :

Sabemos, pela tabela, o valor de :

Passo 3

A derivada de uma função, em certo ponto, pode ser vista como sendo o coeficiente angular de uma reta tangente a função nesse ponto.

Nós não temos a função, mas podemos pegar dois pontos que estão próximos do que a gente deseja descobrir a derivada e traçar a reta que intercepta os dois: