Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.5 - Ex. 59
59. Use a tabela para estimar o valor de , onde .
Passo 1
Oie bora resolver mais uma comigo?
O exercício pede para calcular uma estimativa para onde \ é uma função composta definida como
Para fazer isso, são fornecidas tabelas de valores para as funções em pontos específicos de .
Precisamos determinar o valor de quando .
Isso nos dá o valor da função interna no ponto , que será usado mais tarde na composição de .
Então, para estimar a derivada de vamos usar uma diferença dividida finita com os valores de próximos a
Essa técnica nos permite aproximar a taxa de variação de em torno de .
Com o valor de e uma estimativa para podemos usar a regra da cadeia para encontrar
Isso envolve multiplicar a derivada de (avaliada em pela derivada de (avaliada em
Essa estimativa nos dará uma ideia da taxa de variação de no ponto
Em resumo, o exercício nos pede para usar a regra da cadeia e técnicas de diferenciação numérica para aproximar a taxa de variação de uma função composta em um ponto específico.
Passo 2
Vamos lá então. A regra da cadeia diz que quando temos uma “função dentro da outra”:
e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:
Como queremos , vamos substituir o por :
Sabemos, pela tabela, o valor de :
Passo 3
A derivada de uma função, em certo ponto, pode ser vista como sendo o coeficiente angular de uma reta tangente a função nesse ponto.
Nós não temos a função, mas podemos pegar dois pontos que estão próximos do que a gente deseja descobrir a derivada e traçar a reta que intercepta os dois:
Perceba que essa reta vai ter uma inclinação parecida com a reta tangente no ponto A.
Então vamos pegar os valores dos lados do ponto para a função e do ponto para a função :
A inclinação da reta é dada por:
Então podemos escrever que
Para a vamos fazer a mesma coisa:
Passo 4
Agora é só multiplicar os valores que encontramos: