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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 20

Avalie a integral.

int_2^3 (x ( 3 - 5 x ))/((3 x - 1) (x - 1)^2) d x

Passo 1

Para essa resolução usamos um dos métodos referente a frações parciais:

(x ( 3 - 5 x ))/((3 x - 1) (x - 1)^2) = (A)/(3 x - 1) + (B)/(x - 1) + (C)/((x - 1)^2)

Multiplicando tudo por (3 x - 1) (x - 1)^2 , temos:

x ( 3 - 5 x ) = A (x - 1)^2 + B ( x - 1 ) ( 3 x - 1 ) + C ( 3 x - 1 )

Resolvendo isso podemos jogar valores para x e acharmos os termos:

  • x = 1

    • ( 1 ) ( 3 - 5 ( 1 ) ) = C ( 3 - 1 )

    - 2 = C ( 2 )

    C = - 1

  • x = - 1

    • ( - 1 ) ( 3 + 5 ) = A (- 2)^2 + B ( - 2 ) ( 3 ( - 1 ) - 1 ) + ( - 1 ) ( 3 ( - 1 ) - 1 )

    4 A + 8 B = - 12

    A + 2 B = - 3

  • x = 0

0 xx ( 3 - 5 xx 0 ) = A (0 - 1)^2 + B ( 0 - 1 ) ( 3 xx 0 - 1 ) + C ( 3 xx 0 - 1 )

A + B = - 1

Resolvendo o sistema e multiplicando a segunda por ( - 1 ) :

A + 2 B = - 3

- A - B = 1

B = - 2

Logo, A = 1 .

Substituindo, temos:

(x ( 3 - 5 x ))/((3 x - 1) (x - 1)^2) = (1)/(3 x - 1) - (2)/(x - 1) - (1)/((x - 1)^2)

Passo 2

Agora, aplicamos a integração:

int_2^3 (x ( 3 - 5 x ))/((3 x - 1) (x - 1)^2) d x = int_2^3 (1)/(3 x - 1) - (2)/(x - 1) - (1)/((x - 1)^2) d x

Usamos a substituição u = x - 1 e d u = d x , para todas as integrais, exceto a primeira que será u = 3 x - 1 e d u = 3 d x :. (1)/(3) d u = d x :

int_2^3 (1)/(3 x - 1) d x - int_2^3 (2)/(x - 1) d x - int_2^3 (1)/((x - 1)^2) d x

= (1)/(3) int_2^3 (1)/(u) d u - int_2^3 (2)/(u) d u - int_2^3 (1)/((u)^2) d u

Substituindo os intervalos, temos:

= [(1)/(3) ln | 3 x - 1 | - 2 ln |x - 1| - ln |x - 1|]_2^3

= [(1)/(3) ln | 3 xx 3 - 1 | - 2 ln |3 - 1| - ln |3 - 1| - ((1)/(3) ln | 3 xx 2 - 1 | - 2 ln |2 - 1| - ln |2 - 1|)]

int_2^3 (x ( 3 - 5 x ))/((3 x - 1) (x - 1)^2) d x = - (1)/(3) ln 40 - (1)/(2)

Prontinho!!

Resposta

int_2^3 (x ( 3 - 5 x ))/((3 x - 1) (x - 1)^2) d x = - (1)/(3) ln 40 - (1)/(2)

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