Avalie a integral.

∫ 2 3 x ( 3 - 5 x ) 3 x - 1 x - 1 2 d x

Passo 1

Para essa resolução usamos um dos métodos referente a frações parciais:

x ( 3 - 5 x ) 3 x - 1 x - 1 2 = A 3 x - 1 + B x - 1 + C x - 1 2

Multiplicando tudo por 3 x - 1 x - 1 2 , temos:

x ( 3 - 5 x ) = A x - 1 2 + B ( x - 1 ) ( 3 x - 1 ) + C ( 3 x - 1 )

Resolvendo isso podemos jogar valores para x e acharmos os termos:

  • x = 1
  • ( 1 ) ( 3 - 5 ( 1 ) ) = C ( 3 - 1 )

    - 2 = C ( 2 )

    C = - 1

  • x = - 1
  • ( - 1 ) ( 3 + 5 ) = A - 2 2 + B ( - 2 ) ( 3 ( - 1 ) - 1 ) + ( - 1 ) ( 3 ( - 1 ) - 1 )

    4 A + 8 B = - 12

    A + 2 B = - 3

  • x = 0

0 × ( 3 - 5 × 0 ) = A 0 - 1 2 + B ( 0 - 1 ) ( 3 × 0 - 1 ) + C ( 3 × 0 - 1 )

A + B = - 1

Resolvendo o sistema e multiplicando a segunda por ( - 1 ) :

A + 2 B = - 3

- A - B = 1

B = - 2

Logo, A = 1 .

Substituindo, temos:

x ( 3 - 5 x ) 3 x - 1 x - 1 2 = 1 3 x - 1 - 2 x - 1 - 1 x - 1 2

Passo 2

Agora, aplicamos a integração:

∫ 2 3 x ( 3 - 5 x ) 3 x - 1 x - 1 2 d x = ∫ 2 3 1 3 x - 1 - 2 x - 1 - 1 x - 1 2 d x

Usamos a substituição u = x - 1 e d u = d x , para todas as integrais, exceto a primeira que será u = 3 x - 1 e d u = 3 d x         ∴         1 3 d u = d x :

∫ 2 3 1 3 x - 1 d x - ∫ 2 3 2 x - 1 d x - ∫ 2 3 1 x - 1 2 d x

= 1 3 ∫ 2 3 1 u d u - ∫ 2 3 2 u d u - ∫ 2 3 1 u 2 d u

Substituindo os intervalos, temos:

= 1 3 ln ⁡ | 3 x - 1 | - 2 ln ⁡ x - 1 - ln ⁡ x - 1 2 3

= 1 3 ln ⁡ | 3 × 3 - 1 | - 2 ln ⁡ 3 - 1 - ln ⁡ 3 - 1 - 1 3 ln ⁡ | 3 × 2 - 1 | - 2 ln ⁡ 2 - 1 - ln ⁡ 2 - 1

∫ 2 3 x ( 3 - 5 x ) 3 x - 1 x - 1 2 d x = - 1 3 ln ⁡ 40 - 1 2

Prontinho!!

Resposta

∫ 2 3 x ( 3 - 5 x ) 3 x - 1 x - 1 2 d x = - 1 3 ln ⁡ 40 - 1 2

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