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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 67

Um método para retardar o crescimento de uma população de insetos sem o uso de pesticidas é introduzir na população um número de machos estéreis que acasalam com fêmeas férteis, mas produzem sem filhos. (A foto mostra um parafuso sem-fim, o primeira praga efetivamente eliminada de uma região por esse método.)

Seja P o número de insetos fêmeas em uma população e S o número de machos estéreis introduzidos cada geração. Seja r a taxa de produção per capita de fêmeas por fêmeas, desde que o companheiro escolhido não seja estéril. Então a população feminina está relacionada ao tempo t por

t = ∫ P + S P [ r - 1 P - S ] d P

Suponha que uma população de insetos com 10.000 fêmeas cresça a uma taxa de r =   1,1 e 900 machos estéreis são adicionados inicialmente. Avalie a integral para obter uma equação relacionada a população feminina ao tempo. (Observe que o resultado resultante a equação não pode ser resolvida explicitamente para P .)

Passo 1

Nesse caso, precisamos calcular a integral sabendo que r = 1,1 . Substituimos:

t = ∫ P + S P [ 0,1 P - S ] d P

Agora, podemos aplicar o método de frações parciais!!

Passo 2

Usando o método:

P + S P ( 0,1 P - S ) = A P + B 0,1 P - S

Multiplicando por P 0,1 ( P - S ) :

P + S = A ( 0,1 P - S ) + B ( P )

Aplicando valores para P , temos que:

  • P = 0

    • S = A - S           ∴       A = - 1

  • P = 10 S

10 S + S = A ( 0,1 × 10 S - S ) + B ( 10 S )

11 S = B ( 10 S )

B = 11 10

Agora substituímos na nossa expressão e integramos!!

Passo 3

P + S P ( 0,1 P - S ) = - 1 P + 11 10 ( 0,1 P - S )

Vamos integrar!

∫ P + S P [ 0,1 P - S ] d P = ∫ - 1 P + 11 10 ( 0,1 P - S ) d P

Aplicamos uma substituição na segunda integral: u = 0,1 P - S e d u = 0,1 d P

Logo,

∫ 11 10 ( 0,1 P - S ) d P = 11 10 ∫ 10 ( u ) d P = 11 ln ⁡ 0,1 P - S + C  

∫ P + S P [ 0,1 P - S ] d P = - ln ⁡ P + 11 ln ⁡ 0,1 P - S + C

Passo 4

Pelo enunciado, quando t = 0 ,   P = 10000 e S = 900 . Logo,

= - ln ⁡ 10000 + 11 ln ⁡ 0,1 ( 10000 ) - 900 + C

C = ln ⁡ 10000 - 11 ln ⁡ 100 ≅ - 41,45

Então, o valor de t é:

t = - ln ⁡ P + 11 ln ⁡ 1 10 P - 900 + ln ⁡ 10000 - 11 ln ⁡ 100

Resposta

t = - ln ⁡ P + 11 ln ⁡ 1 10 P - 900 + ln ⁡ 10000 - 11 ln ⁡ 100

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No Exercício ∫ x 2 x 4 - 1d x , expresse o integrando como soma de frações parciais e calcule as integrais.
No Exercício ∫ x 2 + x x 4 - 3 x 2 - 4d x , expresse o integrando como soma de frações parciais e calcule as integrais.
Decomponha os quocientes em frações parciais: 2 x + 2 x 2 - 2 x + 1
Decomponha os quocientes em frações parciais: t 2 + 8 t 2 - 5 t + 6