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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.5 - Ex. 19

Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais 19 -

∫ x 2 t g - 1 x   d x

Passo 1

Utilizaremos o método udu vdv:

u = t g - 1 x

d u = 1 1 + x 2 d x

d v = x 2 d x

v =   ∫ x 2 d x = x 3 3

Utilizando a fórmula:

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

∫ x 2 t g - 1 x   d x = x 3 3 t g - 1 x -   ∫ x 3 3 ⋅ 1 1 + x 2 d x

Passo 2

Resolvendo a Integral:

- 1 3 ∫ x 3 1 + x 2 d x

Utilizand a substituição tdt:

t = 1 + x 2 ,   x 2 = t - 1

d t =   2 x

d x = 1 d t = 1 2 x

- 1 3 ∫ x 3 1 + x 2 ⋅ 1 2 x d x =   - 1 3 ∫ x 2 2 ( 1 + x 2 ) d x = - 1 6 ∫ x 2 1 + x 2 d x =   - 1 6 ∫ t - 1 t d t

- 1 6 ∫ t t - 1 t d t =   - 1 6 ∫ 1   d t -   ∫ 1 t d t = - 1 6 t - ln ⁡ t

- 1 6 t + 1 6 ln ⁡ t

t = 1 + x 2

- 1 6 1 + x 2 + 1 6 ln ⁡ 1 + x 2

Passo 3

Reunindo o cálculo das integrais:

x 3 3 t g - 1 x - 1 6 1 + x 2 + 1 6 ln ⁡ 1 + x 2

Assim:

x 3 3 t g - 1 x - 1 6 - x 2 6 + 1 6 ln ⁡ 1 + x 2 + C

C - 1 6 = C

Assim:

x 3 3 t g - 1 x - x 2 6 + 1 6 ln ⁡ 1 + x 2 + C

Resposta

x 3 3 t g - 1 x - x 2 6 + 1 6 ln ⁡ 1 + x 2 + C

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Calcule a integra ∫ln ⁡ xx 2d x . Algumas integrais não requerem integração por partes.
Calcule a integra ∫ e x x d x Algumas integrais não requerem integração por partes.
Calcule a integral∫ x 2 . s e nx 3 d x Algumas integrais não requerem integração por partes.
Calcule a integra ∫ x 3 . x 2 + 1d x Algumas integrais não requerem integração por partes.