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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 15

Avalie a integral.

int_(- 1)^0 (x^3 - 4 x + 1)/(x^2 - 3 x + 2) d x

Passo 1

Vamos responder esse probleminha!! Bom, a primeira ideia é resolver a fração parcial, como o grau do numerador é maior que o grau do denominador, primeiro devemos realizar a divisão, da seguinte forma:

x^3 + 0 x^2 - 4 x + 1 | x^2 - 3 x + 2

- x^3 + 3 x^2 - 2 x | x

3 x^2 - 6 x + 1 | x + 3

- 3 x^2 + 9 x - 6 | x + 3

3 x - 5 | x + 3

Assim,

(x^3 - 4 x + 1)/(x^2 - 3 x + 2) = (x^2 - 3 x + 2) (x + 3) + ( 3 x - 5 )

Ou dividindo por x^2 - 3 x + 2 :

(x^3 - 4 x + 1)/(x^2 - 3 x + 2) = x + 3 + (3 x - 5)/(x^2 - 3 x + 2)

Podemos reduzir x^2 - 3 x + 2 a ( x - 1 ) ( x - 2 ) , logo

(x^3 - 4 x + 1)/(x^2 - 3 x + 2) = x + 3 + (3 x - 5)/(( x - 1 ) ( x - 2 ))

Passo 2

Agora podemos aplicar as frações parciais:

(3 x - 5)/(( x - 1 ) ( x - 2 )) = (A)/(x - 1) + (B)/(x - 2)

Multiplicando tudo por ( x - 1 ) ( x - 2 ) , temos:

3 x - 5 = A (x - 2) + B ( x - 1 )

Aplicamos valores para x de modo a cancelar um dos termos:

  • x = 2

    • 3 xx ( 2 ) - 5 = A (2 - 2) + B ( 2 - 1 )

    1 = B

  • x = 1

3 xx ( 1 ) - 5 = A (1 - 2) + B ( 1 - 1 )

- 2 = A - :. A = 2

Substituindo, vamos ter que:

(3 x - 5)/(( x - 1 ) ( x - 2 )) = x + 3 + (2)/(x - 1) + (1)/(x - 2)

Agora é só integrar!!

Passo 3

Aplicando a integração:

int_(- 1)^0 (x^3 - 4 x + 1)/(x^2 - 3 x + 2) d x = int_(- 1)^0 x + 3 + (2)/(x - 1) + (1)/(x - 2) d x

Tanto para x - 1 quanto para x - 2 a substituição será de u = x - 1 e d u = d x , logo

int_(- 1)^0 (x^3 - 4 x + 1)/(x^2 - 3 x + 2) d x = int_(- 1)^0 x + 3 + (2)/(u) + (1)/(u) d x

int_(- 1)^0 (x^3 - 4 x + 1)/(x^2 - 3 x + 2) d x = [(x^2)/(2) + 3 x + 2 ln |u| + ln |u|]_(- 1)^0

int_(- 1)^0 (x^3 - 4 x + 1)/(x^2 - 3 x + 2) d x = [(x^2)/(2) + 3 x + 2 ln |x - 1| + ln |x - 2|]_(- 1)^0

= [(0^2)/(2) + 0 + 2 ln |0 - 1| + ln |0 - 2| - ((( - 1 )^2)/(2) + 3 ( - 1 ) + 2 ln |- 1 - 1| + ln |- 1 - 2|)]

Assim, temos que

int_(- 1)^0 (x^3 - 4 x + 1)/(x^2 - 3 x + 2) d x = (5)/(2) - ln 2 - ln 3

Prontinho!!

Resposta

int_(- 1)^0 (x^3 - 4 x + 1)/(x^2 - 3 x + 2) d x = (5)/(2) - ln 2 - ln 3

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