Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 1.6 - Ex. 61

Use o Teorema do Confronto para mostrar que:

E ilustre o princípio envolvivo usando um recurso gráfico computacional para fazer os gráficos de , e na mesma tela da janela .

Passo 1

Então galera, como sabemos que as funções trigonométricas variam de até , podemos escrever nosso teorema do confronto da seguinte forma:

Considerando que porque há um no denominador, temos que:

A partir disso, temos que quando o que acontece é que da mesma forma. Sendo assim, as desigualdades implicam que:

Que é exatamente o resultado que esperávamos e que o enunciado cede!

Passo 2

Para visualizarmos se, de fato, nosso resultado está correto, vamos plotar os gráficos de , e , se liga:

Por mais que esteja difícil de visualizar, temos que a função em verde (acima do eixo ) é , a função em azul (abaixo do eixo ) é e, por fim, a função em laranjado é . Aqui vale ressaltar que essa última função não é uma região, ok? Se trata de uma função periódica com o período muito baixo, o que faz com que as curvas fiquem muito próximas uma das outras. Em uma outra escala temos que ela é da seguinte forma: