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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.1 - Ex. 6

Seja f : - 1,1 → R dada por f x = x 2 + x 1 + x 2 .

a) Prove que f 1 é o valor máximo de f .

b) Prove que existe x 1 ∈   ] - 1,0 [ tal que f x 1 é o valor mínimo de f .

Passo 1

  1. Pelo intervalo dado, temos que o maior valo que função pode assumir é 1 , então vamos calcular f 1 e verificar se esse é o valor máximo

Temos que f 1 é dado por:

f 1 = 1 2 + 1 1 + 1 2 = 2 2 = 1

E temos que no intervalo - 1,1 temos:

x ≤ 1

Somando x 2 nos dois lados:

x + x 2 ≤ 1 + x 2

Assim:

x 2 + x 1 + x 2 ≤ 1

Então, no intervalo - 1,1 , o valor máximo que x 2 + x 1 + x 2 pode assumir é 1 , e como f 1 = 1 , provamos que f 1 é o valor máximo de f .

Passo 2

b) Agora queremos o contrário! Então vamos substituir os extremos e achar o valor mínimo.

Temos que

f - 1 = - 1 2 + - 1 1 + - 1 2 = 0 2 = 0

f - 1 = 0

E

f 0 = 0 2 + 0 1 + 0 = 0 1 = 0

f 0 = 0

Para x ∈ - 1,0 , temos que x < 0 e x > - 1

Assim:

x 2 + x < 0

x 2 + x 1 + x 2 < 0

Logo, se temos que f - 1 = 0 , f 0 = 0 e para x ∈ - 1,0 f x < 0 , com f contínua, concluímos que f possui valor mínimo em ] - 1,0 [ .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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