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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.9 - Ex. 15

Use o Teorema da Divergência para calcular a integral superfície ∬ S   F ⋅ d S , ou seja, calcule o fluxo de F através de S .

F = e y tan ⁡ z i + y 3 - x 2 j + x sen ⁡ y k

S é a superfície de um sólido que está acima do plano x y e abaixo da superfície z = 2 - x 4 - y 4 , - 1 ≤ x ≤ 1 , - 1 ≤ y ≤ 1 .

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo tranquilo?

A questão quer que a gente calcule a integral de superfície

∬ S   F ⋅ d S

Onde:

F = e y tan ⁡ z i + y 3 - x 2 j + x sen ⁡ y k

E S é a superfície de um sólido que está acima do plano x y e abaixo da superfície

z = 2 - x 4 - y 4

- 1 ≤ x ≤ 1

- 1 ≤ y ≤ 1

O Teorema do Divergente diz que:

∬ E   F ⋅ d S = ∭ E   d i v   F   d V

Ou seja, o fluxo de F pela fronteira de E é igual a integral tripla da divergência de F sobre a mesma fronteira E .

Então, nós vamos precisar calcular o divergente de F dado por:

d i v F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

E calcular nossa integral tripla com base nos limites de integração que o enunciado nos deu!

Bora resolver nossa questão!

Passo 2

Vamos começar pelo cálculo do divergente:

A função campo é do tipo:

F = P i + Q j + R k

Como nosso campo tem a equação:

F = e y tan ⁡ z i + y 3 - x 2 j + x sen ⁡ y k

Nossos termos são:

P = e y tan ⁡ z

Q = y 3 - x 2

R = x sen ⁡ y  

Aplicando na equação do divergente:

d i v F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Temos:

d i v F = ∂ e y tan ⁡ z ∂ x + ∂ y 3 - x 2 ∂ y + ∂ x sen ⁡ y ∂ z

Resolvendo as derivadas parciais:

d i v F = 0 + 3 - x 2 + 0 = 3 - x 2

Passo 3

Vamos aplicar agora o Teorema da Divergência!

∬ S   F ⋅ d S = ∭ E   d i v   F   d V = ∭ E   3 - x 2   d V

Agora precisamos achar os limites de integração da nossa superfície S . O enunciado nos deu que:

S é a superfície de um sólido que está acima do plano x y e abaixo da superfície

z = 2 - x 4 - y 4

- 1 ≤ x ≤ 1

- 1 ≤ y ≤ 1

Ou seja, os limites de integração já estão dados:

- 1 ≤ x ≤ 1

- 1 ≤ y ≤ 1

E para z , como está acima do plano x y , está acima de z = 0 . Então:

0 ≤ z ≤ 2 - x 4 - y 4

Lembrando que:

d V = d x   d y   d z

Ficamos com:

∭ E   3 - x 2   d V = ∫ - 1 1 ∫ - 1 1 ∫ 0 2 - x 4 - y 4 3 - x 2 d z d y d x

Note que colocamos pra dentro a variável de integração que tem função nos limites de integração!

Passo 4

Resolvendo a integral, teremos:

∬ S   F ⋅ d S = ∫ - 1 1 ∫ - 1 1 ∫ 0 2 - x 4 - y 4 3 - x 2 d z d y d x

Como a questão traz um símbolo de CAS ao lado lá no livro, podemos usar uma calculadora para computar o valor da nossa integral.

∫ - 1 1 ∫ - 1 1 ∫ 0 2 - x 4 - y 4 3 - x 2 d z d y d x = 341 60 2 + 81 20 sin - 1 ⁡ 3 3

Logo,

∬ S   F ⋅ d S = 341 60 2 + 81 20 sin - 1 ⁡ 3 3

Resposta

∬ S   F ⋅ d S = 341 60 2 + 81 20 sin - 1 ⁡ 3 3

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