Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.9 - Ex. 15

Use o Teorema da Divergência para calcular a integral superfície ∬ S   F ⋅ d S , ou seja, calcule o fluxo de F através de S .

F = e y tan ⁡ z i + y 3 - x 2 j + x sen ⁡ y k

S é a superfície de um sólido que está acima do plano x y e abaixo da superfície z = 2 - x 4 - y 4 , - 1 ≤ x ≤ 1 , - 1 ≤ y ≤ 1 .

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo tranquilo?

A questão quer que a gente calcule a integral de superfície

∬ S   F ⋅ d S

Onde:

F = e y tan ⁡ z i + y 3 - x 2 j + x sen ⁡ y k

E S é a superfície de um sólido que está acima do plano x y e abaixo da superfície

z = 2 - x 4 - y 4

- 1 ≤ x ≤ 1

- 1 ≤ y ≤ 1

O Teorema do Divergente diz que:

∬ E   F ⋅ d S = ∭ E   d i v   F   d V

Ou seja, o fluxo de F pela fronteira de E é igual a integral tripla da divergência de F sobre a mesma fronteira E .

Então, nós vamos precisar calcular o divergente de F dado por:

d i v F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

E calcular nossa integral tripla com base nos limites de integração que o enunciado nos deu!

Bora resolver nossa questão!

Passo 2

Vamos começar pelo cálculo do divergente:

A função campo é do tipo:

F = P i + Q j + R k

Como nosso campo tem a equação:

F = e y tan ⁡ z i + y 3 - x 2 j + x sen ⁡ y k

Nossos termos são:

P = e y tan ⁡ z

Q = y 3 - x 2

R = x sen ⁡ y  

Aplicando na equação do divergente:

d i v F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Temos:

d i v F = ∂ e y tan ⁡ z ∂ x + ∂ y 3 - x 2 ∂ y + ∂ x sen ⁡ y ∂ z

Resolvendo as derivadas parciais:

d i v F = 0 + 3 - x 2 + 0 = 3 - x 2

Passo 3

Vamos aplicar agora o Teorema da Divergência!

∬ S   F ⋅ d S = ∭ E   d i v   F   d V = ∭ E   3 - x 2   d V

Agora precisamos achar os limites de integração da nossa superfície S . O enunciado nos deu que:

S é a superfície de um sólido que está acima do plano x y e abaixo da superfície

z = 2 - x 4 - y 4

- 1 ≤ x ≤ 1

- 1 ≤ y ≤ 1

Ou seja, os limites de integração já estão dados:

- 1 ≤ x ≤ 1

- 1 ≤ y ≤ 1

E para z , como está acima do plano x y , está acima de z = 0 . Então:

0 ≤ z ≤ 2 - x 4 - y 4

Lembrando que:

d V = d x   d y   d z

Ficamos com:

∭ E   3 - x 2   d V = ∫ - 1 1 ∫ - 1 1 ∫ 0 2 - x 4 - y 4 3 - x 2 d z d y d x

Note que colocamos pra dentro a variável de integração que tem função nos limites de integração!

Passo 4

Resolvendo a integral, teremos:

∬ S   F ⋅ d S = ∫ - 1 1 ∫ - 1 1 ∫ 0 2 - x 4 - y 4 3 - x 2 d z d y d x

Como a questão traz um símbolo de CAS ao lado lá no livro, podemos usar uma calculadora para computar o valor da nossa integral.

∫ - 1 1 ∫ - 1 1 ∫ 0 2 - x 4 - y 4 3 - x 2 d z d y d x = 341 60 2 + 81 20 sin - 1 ⁡ 3 3

Logo,

∬ S   F ⋅ d S = 341 60 2 + 81 20 sin - 1 ⁡ 3 3

Resposta

∬ S   F ⋅ d S = 341 60 2 + 81 20 sin - 1 ⁡ 3 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um sólido ocupa a região E com superfície S e está imerso em um líquido com densidade constante ρ . Escolhemos um sistema de coordenadas de modo que o plano x y coincida com a superfície do liquido e
A figura mostra um campo vetorial F → . Use a interpretação do divergente deduzida nessa seção para determinar se d i vF → é positivo ou negativo em P 1 e P 2
Os pontos P 1 e P 2 são fontes ou sorvedouros no campo vetorial F → mostrado na figura? Dê uma explicação baseada exclusivamente na figura.Dado que F → x , y = x , y 2 , use a definição de divergente
Use o teorema do divergente para calcular a integral de superfície ∬ S F → ∙ d S → ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S . F → x , y , z = x y e 2i ^ + x y 2 z 3j ^ - y e zk ^ S é a superfíci
Verifique se o teorema do Divergente é verdadeiro para o campo vetorial F → na região E . F → x , y , z = ( z ,y ,x ) , E é a bola sólida x 2 + y 2 + z 2 ≤ 16 .