Verifique se o teorema do Divergente é verdadeiro para o campo vetorial na região .

, é a bola sólida .

Vamos começar calculando o divergente da nossa função :

Dado pela equação:

Uma função campo tem o formato:

Então suas componentes são:

Substituindo na equação do divergente:

Resolvendo as derivadas parciais em cada termos, temos:

Calculando a integral:

Temos:

A integral tripla de um elemento é justamente o volume do sólido , que no nosso caso é uma esfera (ou bola):

Com raio , então:

E:

Para o nosso caso teremos:

Então:

Agora precisamos do valor de:

Podemos calcular essa integral de superfície como:

Vamos achar uma parametrização para nossa esfera, usando as equações que usamos para lidar com coordenadas esféricas:

Como é o raio da esfera e nossa equação é:

Nosso raio é :

Então nossas equações paramétricas se tornam:

E podemos escrever nosso vetor paramétrico como:

Podemos achar os vetores:

• :

Derivando em , tratando como constante:

• :

Derivando em , tratando como constante:

Vamos calcular o produto vetorial:

Para cada componente e , temos que multiplicar a matriz que achamos tirando a linha e a coluna da componente que estamos procurando. Depois, tiramos o determinante de cada matriz e ficamos com:

Então:

Aplicando os parâmetros na função :

Fazendo o produto escalar:

Para uma esfera inteira, vamos ter a variação:

Então nossa integral será:

Resolvendo nossa integral:

Integrando primeiro em , que é a integral de dentro, tratando como constante:

Aplicando os limites de integração em :

Integrando agora em :

Então:

Como temos os resultados:

E:

Ou seja, isso demonstra o Teorema do Divergente:

Teorema do Divergente é verdadeiro!