Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.9 - Ex. 5
Use o teorema do divergente para calcular a integral de superfície ; ou seja, calcule o fluxo de através de .
é a superfície da caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos , e .
Passo 1
Faala, pessoal!
A questão pede para calcular a integral de fluxo de sobre usando o teorema do divergente. Segundo ele:
Onde é o sólido limitado pela superfície .
O divergente de é
Então pra resolver isso, vamos calcular o divergente, depois definir quem é , e calcular a integral tripla.
Passo 2
Nosso campo vetorial é:
Então:
Vamos calcular as derivadas parciais.
Derivando em função de , com constantes:
Agora derivando em função de :
E derivando em função de :
Então o divergente fica:
Passo 3
A superfície é definida por , e e pelos eixos coordenados .
Dessa forma, o sólido fica definido por:
Assim, voltando pro teorema do divergente temos:
Agora vamos precisar calcular essa integral, de dentro pra fora:
Passo 4
Primeiro integramos em função de , com e constantes:
Substituindo nos limites de integração:
Colocando em evidência:
Passo 5
Agora vamos integrar em função de , considerando constantes:
Esse termo entre parênteses só depende de , então é constante em função de , e pode sair dessa integral:
Aplicando os limites de integração:
Passo 6
Por último, vamos integrar em função de .
Calculando nos limites: