Use o teorema do divergente para calcular a integral de superfície ∬ S F → ∙ d S → ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S . F → x , y , z = x y e 2i ^ + x y 2 z 3j ^ - y e zk ^ S é a superfície da caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos x = 3 , y = 2 e z = 1 .

Enunciado

Faala, pessoal!

A questão pede para calcular a integral de fluxo de sobre usando o teorema do divergente. Segundo ele:

Onde é o sólido limitado pela superfície .

O divergente de é

Então pra resolver isso, vamos calcular o divergente, depois definir quem é , e calcular a integral tripla.

Nosso campo vetorial é:

Então:

Vamos calcular as derivadas parciais.

Derivando em função de , com constantes:

Agora derivando em função de :

E derivando em função de :

Então o divergente fica:

A superfície é definida por , e e pelos eixos coordenados .

Dessa forma, o sólido fica definido por:

Assim, voltando pro teorema do divergente temos:

Agora vamos precisar calcular essa integral, de dentro pra fora:

Primeiro integramos em função de , com e constantes:

Substituindo nos limites de integração:

Colocando em evidência:

Agora vamos integrar em função de , considerando constantes:

Esse termo entre parênteses só depende de , então é constante em função de , e pode sair dessa integral:

Aplicando os limites de integração:

Por último, vamos integrar em função de .

Calculando nos limites: