Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.9 - Ex. 32
Um sólido ocupa a região com superfície e está imerso em um líquido com densidade constante . Escolhemos um sistema de coordenadas de modo que o plano coincida com a superfície do liquido e valores positivos de sejam medidos para baixp, adentrando o líquido. Então, a pressão na profundidade é , onde é a aceleração da gravidade (veja a Seção 6.5). A força de empuxo total sobre o sólido devida à distribuição de pressão é dada pela integral de superfície
onde é o vetor normal unitário apontando para fora. Use o resultado do Exercício para mostrar que , onde é o peso do líquido deslocado pelo sólido. (Observe que é orientado para cima porque está orientado para baixo.) O resultado é o Princípio de Arquimedes: a froça de empuxo sobre um objeto é igual ao peso do líquido deslocado.
Passo 1
Pelo exercício do Capítulo da seção nós sabemos que:
A questão nos dá que:
Então pela equação da questão podemos fazer:
Passo 2
Também nos é dado no enunciado que a pressão na profundidade é , pela definição também sabemos que:
Vamos substituir isso na integral:
Passo 3
Temos que a massa do líquido deslocado pelo volume é a mesma do sólido:
Temos que é o peso do líquido deslocado pelo sólidoe é dado pela fórmula:
Substituindo em :
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)