Um sólido ocupa a região com superfície e está imerso em um líquido com densidade constante . Escolhemos um sistema de coordenadas de modo que o plano coincida com a superfície do liquido e valores positivos de sejam medidos para baixo, adentrando o líquido. Então, a pressão na profundidade é , onde é a aceleração da gravidade (veja a Seção 6.5). A força de empuxo total sobre o sólido devida à distribuição de pressão é dada pela integral de superfície

onde é o vetor normal unitário apontando para fora. Use o resultado do Exercício para mostrar que , onde é o peso do líquido deslocado pelo sólido. (Observe que é orientado para cima porque está orientado para baixo.) O resultado é o Princípio de Arquimedes: a força de empuxo sobre um objeto é igual ao peso do líquido deslocado.

Pelo exercício , nós sabemos que:

A questão nos dá que:

Então pela equação da questão podemos fazer:

Também nos é dado no enunciado que a pressão na profundidade é, pela definição,

Também sabemos que a divergência pode ser calculada pelas derivadas parciais de .

Assim, podemos fazer

Seu resultado será

Agora vamos substituir isso na integral:

Jogando para fora da integral a constante, teremos:

Temos que a massa do líquido deslocado pelo volume é a mesma do sólido:

Temos que é o peso do líquido deslocado pelo sólido e é dado pela fórmula:

Então, substituindo em do passo anterior,