Um sólido ocupa a região E com superfície S e está imerso em um líquido com densidade constante ρ . Escolhemos um sistema de coordenadas de modo que o plano x y coincida com a superfície do liquido e valores positivos de z sejam medidos para baixo, adentrando o líquido. Então, a pressão na profundidade z é p = ρ g z , onde g é a aceleração da gravidade (veja a Seção 6.5). A força de empuxo total sobre o sólido devida à distribuição de pressão é dada pela integral de superfície

F = - ∬ S p n   d S

onde n é o vetor normal unitário apontando para fora. Use o resultado do Exercício 31 para mostrar que F = - W k , onde W é o peso do líquido deslocado pelo sólido. (Observe que F é orientado para cima porque z está orientado para baixo.) O resultado é o Princípio de Arquimedes: a força de empuxo sobre um objeto é igual ao peso do líquido deslocado.

Passo 1

Fala, galera! Tudo show? 😊

Precisamos observar o Exercício 31 para mostrar que

F = - W k

onde W é o peso do líquido deslocado pelo sólido, ou seja, vamos demonstrar o Princípio de Arquimedes: a força de empuxo sobre um objeto é igual ao peso do líquido deslocado.

Vamos ter um sólido ocupando a região E com superfície S e que está imerso em um líquido com densidade constante ρ. Com a pressão na profundidade z é p = ρ g z , onde g é a aceleração da gravidade, vamos ter como nosso amigo a força do empuxo total sobre o sólido devida à distribuição de pressão é dada pela integral de superfície

F = - ∬ S p n   d S

onde n é o vetor normal unitário apontando para fora. Belezinha?

Passo 2

Pelo exercício 31 , nós sabemos que:

∬ S f n   d S = ∭ E ∇ f   d V

A questão nos dá que:

F = - ∬ S p n   d S

Então pela equação da questão 31 podemos fazer:

F = - ∬ S p n   d S = - ∭ E ∇ p   d V

Passo 3

Também nos é dado no enunciado que a pressão na profundidade z é, pela definição,

p = ρ g z

Também sabemos que a divergência pode ser calculada pelas derivadas parciais de p .

∇ p = ∂ p ∂ x i + ∂ p ∂ y j + ∂ p ∂ z k

Assim, podemos fazer

∂ ρ g z ∂ x i + ∂ ρ g z ∂ y j + ∂ ρ g z ∂ z k

Seu resultado será

0 i + 0 j + ρ g k = ρ g k

Agora vamos substituir isso na integral:

F = - ∬ S p n   d S = - ∭ E ∇ p   d V

- ∭ E ρ g k   d V

Jogando para fora da integral a constante, teremos:

- ρ g k ∭ E   d V = - ρ g V k

Passo 4

Temos que a massa do líquido deslocado pelo volume é a mesma do sólido:

m = ρ V

Temos que W é o peso do líquido deslocado pelo sólido e é dado pela fórmula:

W = m ⋅ g = ρ V ⏟ m g

Então, substituindo em F do passo anterior,

F = - ρ g V k = - W k

Resposta

F = - W k

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