Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.9 - Ex. 6

Use o Teorema da Divergência para calcular a integral superfície ∬ S F . d S , ou seja, calcule o fluxo de F através de S .

F x , y , z = x 2 y z i + x y 2 z j + x y z 2 k

S é a superfície da caixa limitada pelos planos x = 0 , x = a , y = 0 , y = b , z = 0 e z = c , onde a , b   e   c são números positivos.

Passo 1

Oii, pessoal! Como estão?

A questão quer que a gente calcule a integral de superfície

∬ S   F ⋅ d S

Onde:

F x , y , z = x 2 y z i + x y 2 z j + x y z 2 k

E S é a superfície da caixa limitada pelos planos

x = 0 , x = a

y = 0 , y = b

z = 0 e z = c

onde a , b   e   c são números positivos.

O Teorema do Divergente diz que:

∬ S   F ⋅ d S = ∭ E   d i v   F   d V

Ou seja, o fluxo de F pela fronteira de E é igual a integral tripla da divergência de F sobre a mesma fronteira E .

Então, nós vamos precisar calcular o divergente de F dado por:

d i v F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

E calcular nossa integral tripla com base nos limites de integração que o enunciado nos deu! Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar pelo cálculo do divergente:

A função campo é do tipo:

F = P i + Q j + R k

Como nosso campo tem a equação:

F x , y , z = x 2 y z i + x y 2 z j + x y z 2 k

Nossos termos são:

P = x 2 y z

Q = x y 2 z

R = x y z 2

Aplicando na equação do divergente:

d i v F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Ficamos com:

d i v F = ∂ x 2 y z ∂ x + ∂ x y 2 z ∂ y + ∂ x y z 2 ∂ z

Realizando cada derivada parcial, temos:

d i v F = 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z = 6 x y z

Passo 3

Vamos aplicar agora o Teorema da Divergência!

∬ S   F . d S = ∭ E   d i v   F   d V = ∭ E   2 x y z 3   d V

Como sabemos:

d V = d x   d y   d z

Então, precisamos dos limites de integração para cada variável. No nosso caso, o enunciado diz que nossa caixa está limitada pelos planos

x = 0 , x = a

y = 0 , y = b

z = 0 e z = c

Então, nossos limites de integração serão:

0 ≤ x ≤ a

0 ≤ y ≤ b

0 ≤ z ≤ c

Então, nossa integral fica:

∬ S   F ⋅ d S = ∭ E   2 x y z 3   d V = ∫ 0 a ∫ 0 b ∫ 0 c 6 x y z d z d y d x

Separando a integral do produto como um produto de integrais, cada qual com seus limites e variáveis de integração:

∬ S   F ⋅ d S = 6 ∫ 0 a x d x ∫ 0 b y d y ∫ 0 c z d z

Resolvendo nossas integrais:

∬ S   F ⋅ d S = 6 1 2 x 2 0 a 1 2 y 2 0 b 1 2 z 2 0 c

Aplicando os limites de integração:

∬ S   F ⋅ d S = 6 a 2 2 b 2 2 c 2 2 = 3 a 2 b 2 c 2

Resposta

Logo, ∬ S   F ⋅ d S = 3 a 2 b 2 c 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstre cada identidade, supondo que S e E satisfaçam as condições do Teorema do Divergente e que as funções escalares e as componentes dos campos vetoriais tenham derivadas parciais de segunda orde
Suponha que S e E satisfaçam as condições do Teorema do Divergente e que f seja uma função escalar com derivadas parciais contínuas. Demonstre que ∬ S f nd S = ∭ E ∇ fd V Estas integrais de superfície
Demonstre cada identidade, supondo que S e E satisfaçam as condições do Teorema do Divergente e que as funções escalares e as componentes dos campos vetoriais tenham derivadas parciais de segunda orde
Demonstre cada identidade, supondo que S e E satisfaçam as condições do Teorema do Divergente e que as funções escalares e as componentes dos campos vetoriais tenham derivadas parciais de segunda orde
Demonstre cada identidade, supondo que S e E satisfaçam as condições do Teorema do Divergente e que as funções escalares e as componentes dos campos vetoriais tenham derivadas parciais de segunda orde