Use o Teorema da Divergência para calcular a integral superfície ∬ S F . d S , ou seja, calcule o fluxo de F através de S . F x , y , z = x 2 y z i + x y 2 z j + x y z 2 k S é a superfície da caixa limitada pelos planos x = 0 , x = a , y = 0 , y = b , z = 0 e z = c , onde a , bec são números positivos.

Logo, ∬ SF ⋅ d S = 3 a 2 b 2 c 2

Enunciado

Oii, pessoal! Como estão?

A questão quer que a gente calcule a integral de superfície

Onde:

E é a superfície da caixa limitada pelos planos

onde são números positivos.

O Teorema do Divergente diz que:

Ou seja, o fluxo de pela fronteira de é igual a integral tripla da divergência de sobre a mesma fronteira .

Então, nós vamos precisar calcular o divergente de dado por:

E calcular nossa integral tripla com base nos limites de integração que o enunciado nos deu! Vamos lá!

Vamos começar pelo cálculo do divergente:

A função campo é do tipo:

Como nosso campo tem a equação:

Nossos termos são:

Aplicando na equação do divergente:

Ficamos com:

Realizando cada derivada parcial, temos:

Vamos aplicar agora o Teorema da Divergência!

Como sabemos:

Então, precisamos dos limites de integração para cada variável. No nosso caso, o enunciado diz que nossa caixa está limitada pelos planos

Então, nossos limites de integração serão:

Então, nossa integral fica:

Separando a integral do produto como um produto de integrais, cada qual com seus limites e variáveis de integração:

Resolvendo nossas integrais:

Aplicando os limites de integração:

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