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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 24

Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

f x ,   y ,   z = x ln ⁡ ( y z ) ,   1 ,   2 , 1 2

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas direcionais, vamos lá!

A questão nos da uma função f x ,   y ,   z = x ln ⁡ ( y z ) e pede para encontrarmos o valor máximo de sua derivada direcional no ponto ( 1 ,   2 ,   1 / 2 ) !

Ok, e como encontramos isso?

A derivada direcional de f num ponto ( a ,   b ,   c ) em uma direção u → unitária qualquer é dada por

D u f a ,   b ,   c = ∇ f a ,   b ,   c ⋅ u →

Onde ∇ f é o gradiente da função f ! Relembrando: O gradiente é o conjunto das derivadas parciais, nesse caso f x , f y e f z .

Mas e para encontrar o valor máximo e sua direção?

O valor máximo é simplesmente o módulo de ∇ f e ele ocorre na mesma direção de ∇ f !

Dessa forma, calculando o gradiente ∇ f nós já temos a resposta quase completa!

Passo 2

Buscamos

∇ f a ,   b ,   c = ( f x ,   f y ,   f z )

Dessa forma, para encontrar f x nós derivamos f em x considerando y e z constante

∂ f ∂ x = ln ⁡ ( y z ) ∂ x ∂ x

∂ f ∂ x = ln ⁡ ( y z )

Analogamente, encontramos f y da seguinte forma

∂ f ∂ y = x ∂ ln ⁡ ( y z ) ∂ y

Que pode ser resolvido usando a regra da cadeia!

Lembrando do formato da regra da cadeia:

Se temos uma função

z = f ( g x )

Onde podemos chamar

g x = u

A derivada dessa função vai ser dada por:

d z d x = d f u d u ⋅ d g x d x

De forma que, para o nosso caso

∂ f ∂ y = x d l n ( u ) d u ⋅ z d y d y

∂ f ∂ y = x z y z

∂ f ∂ y = x y

E, por fim, encontrando f z

∂ f ∂ z = x d l n ( u ) d u ⋅ y d z d z

f z = x z

Passo 3

Temos o gradiente

∇ f = ln ⁡ ( y z ) ,   x y , x z

Ou ainda, em função dos vetores unitários

∇ f = ln ⁡ ( y z ) i + x y j + x z k

Substituindo o ponto

∇ f 1 ,   2 , 1 2 = ln ⁡ ( 2 ⋅ 1 / 2 ) i + 1 2 j + 1 1 / 2 k

∇ f 1 ,   2 , 1 2 = 0 i + 1 2 j + 2 k

Que é a direção em que a taxa de variação ocorre! Além disso, tirando o módulo para encontrar o valor máximo, temos

∇ f 1 ,   2 , 1 2 = 0 2 + ( 1 / 2 ) ² + 2 ²

∇ f 1 ,   2 , 1 2 = 17 2

Resposta

∇ f 1 ,   2 , 1 2 = 0 i + 1 2 j + 2 k

∇ f 1 ,   2 , 1 2 = 17 2

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