Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície ; ou seja, calcular o fluxo de através de .

, é a superfície de um tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano , onde são números positivos.

Vamos começar pelo cálculo do divergente:

A função campo é do tipo:

Como nosso campo tem a equação:

Nossos termos são:

Aplicando na equação do divergente:

Resolvendo as derivadas parciais:

Vamos aplicar agora o Teorema da Divergência!

Agora precisamos achar os limites de integração da nossa superfície . é a superfície do tetraedro delimitada pelos planos coordenados, que são:

, e

e o plano

Isolando na equação do plano acima, temos:

Assim, já temos os limites para :

Ainda faltam os limites para e . Vamos começar por . Para entendermos qual a variação de , fazemos na equação do plano, assim ficamos só com o valor no eixo :

Então:

Assim, temos nosso intervalo, já que também está limitado pelo plano coordenado :

Por fim, fazemos para acharmos os limites de :

Isolando :

Como também está limitado por , temos:

Show! Esses são nossos limites de integração.

Resolvendo a integral, teremos:

Note que precisamos montar nossa integral tripla colocando as variáveis que tem funções nos limites de integração “pra dentro”, se não nosso cálculo fica errado!

Fazendo a integral em , que é a integral de dentro, tratando como constante:

Aplicando os limites de integração em :

Agora nossa integral mais pra dentro é a em . Integrando, temos:

Aplicando os limites de integração em , ficamos com:

Fazendo as multiplicações e reorganizando, você vai encontrar a seguinte expressão:

Resolvendo as integrais em :

Aplicando os limites de integração:

Ficamos finalmente com:

O Fluxo de através de será: