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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.9 - Ex. 8

Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície ∬ S F ⋅ d S ; ou seja, calcular o fluxo de F através de S .

F x , y , z = ( x 3 + y 3 ) i + y 3 + z 3 j + z 3 + x 3   k , S é a esfera com centro na origem e raio 2 .

Passo 1

E aí, galera! Tranquilo?

A questão quer que a gente calcule a integral de superfície

∬ S   F ⋅ d S

Onde:

F x , y , z = ( x 3 + y 3 ) i + y 3 + z 3 j + z 3 + x 3   k

E S é a esfera com centro na origem e raio 2 .

O Teorema do Divergente diz que:

∬ S   F ⋅ d S = ∭ s   d i v   F   d V

Ou seja, o fluxo de F pela fronteira de E é igual a integral tripla da divergência de F sobre a mesma fronteira E .

Então, nós vamos precisar calcular o divergente de F dado por:

d i v F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

E calcular nossa integral tripla com base nos limites de integração que o enunciado nos deu!

Vem comigo!

Passo 2

Vamos começar pelo cálculo do divergente:

A função campo é do tipo:

F = P i + Q j + R k

Como nosso campo tem a equação:

F x , y , z = ( x 3 + y 3 ) i + y 3 + z 3 j + z 3 + x 3   k

Nossos termos são:

P = ( x 3 + y 3 )

Q = y 3 + z 3

R = z 3 + x 3  

Aplicando na equação do divergente:

d i v F = ∂ ( x 3 + y 3 ) ∂ x + ∂ y 3 + z 3 ∂ y + ∂ z 3 + x 3 ∂ z

Ficamos com:

d i v F = 3 x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 = 3 x 2 + y 2 + z 2

Passo 3

Vamos aplicar agora o Teorema da Divergência!

∬ S   F ⋅ d S = ∭ E   d i v   F   d V = ∭ E   3 x 2 + y 2 + z 2   d V

Agora precisamos achar os limites de integração da nossa superfície S . Como S é uma esfera, podemos usar o sistema de coordenadas esféricas para determinar nossos limites de integração:

esfera com centro na origem e raio 2

Então, o próprio enunciado nos dá que o raio da esfera é ρ = 2 . O sistema de coordenadas esféricas tem 3 variáveis:

  • ρ : raio da esfera. Como tem raio 2 e está centrada na origem, temos a variação:

    • 0 ≤ ρ ≤ 2

  • θ : ângulo da esfera no plano x y , ao redor do eixo z . Como no plano x y nossa esfera traça uma circunferência completa, nossa variação será:

    • 0 ≤ θ ≤ 2 π

  • ϕ : ângulo que sai do eixo positivo de z . Como nossa esfera é completa ϕ vai do eixo z positivo até negativo. Então:

0 ≤ ϕ ≤ π

Para coordenadas esféricas, temos:

x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2

d V = ρ 2 ϕ   d ρ   d θ   d ϕ  

Então, nossa integral se torna:

∭ E   3 x 2 + y 2 + z 2   d V = ∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 2 3 ρ 2 ⋅ ρ 2 ϕ   d ρ d θ d ϕ

Passo 4

Resolvendo a integral, teremos:

∫ 0 π ∫ 0 2 π ��� 0 2 3 ρ 2 ⋅ ρ 2 ϕ   d ρ d θ d ϕ = 3 ∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 2 3 ρ 4 ϕ   d ρ d θ d ϕ

Separando a integral do produto como um produto de integrais, cada qual com seus limites e variáveis de integração:

= 3 ∫ 0 π s i n s i n   ϕ   d ϕ ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 2 ρ 4 d ρ

Resolvendo nossas integrais:

= 3 - c o s c o s   ϕ   0 π θ 0 2 π ρ 5 5 0 2

Aplicando os limites de integração:

= 3 - c o s c o s   π   - - c o s c o s   0   2 π - 0 32 5 - 0

Fazendo as operações nos parênteses:

= 3 - - 1 - - 1 2 π 32 5

Ficamos finalmente com:

∬ S   F ⋅ d S = ∭ E   d i v   F   d V = 384 π 5

O Fluxo de F através de S será:

∬ S   F ⋅ d S = 384 π 5

Resposta

∬ S   F ⋅ d S = 384 π 5

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