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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.5 - Ex. 4

Use a regra da cadeia para achar d z d t

z = t g - 1 y x ,   x = e t ,   y = 1 - e - t

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas parciais com regra da cadeia, vamos lá!

A questão nos dá a função z ( x , y ) e as “variáveis” x ( t ) e y ( t ) , e pede para que encontremos a derivada d z d t , mas como chegamos nela?

Ai que entra a regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis!

Para uma função no formato z ( x , y ) onde x = x ( t ) e y = y ( t ) , a derivada d z / d t pode ser definida como:

d z d t =   ∂ z ∂ x ⋅ d x d t + ∂ z ∂ y ⋅ d y d t

Ou ainda

d z d t =   z x ⋅ d x d t + z y ⋅ d y d t

Então nossa estratégia vai ser definir todos os termos dessa fórmula e encontrar a derivada do enunciado!

Passo 2

Precisamos encontrar as quatro derivadas para montar nossa expressão! Relembrando: Para calcular derivadas parciais nós tratamos como constante as variáveis que não estão envolvidas na derivação!

Dessa forma, para encontrar z x , tratamos y como constante e derivamos a função z em x :

z ( x ) = t g - 1 y x

∂ z ∂ x = d   t g - 1 y x d x

Que pode ser resolvido usando a regra da cadeia tradicional!

Relembrando:

Se temos uma função

z = f ( g x )

Onde podemos chamar

g x = u

A derivada dessa função vai ser dada por:

d z d x = d f u d u ⋅ d g x d x

Então para o nosso caso temos

∂ z ∂ x = d   t g - 1 u d u ⋅ y d   x - 1 d x

∂ z ∂ x = 1 1 + u 2 ⋅ y - 1 x 2

Após substituir u e simplificar, ficamos com

z x = - y x 2 + y 2

Passo 3

E da mesma forma, para encontrar z y , tratamos x como constante e derivamos a função z em y :

z ( y ) = t g - 1 y x

∂ z ∂ y = d   t g - 1 y x d y

Após aplicar a regra da cadeia tradicional, temos

∂ z ∂ y = d   t g - 1 u d u ⋅ 1 x ⋅ d   y d y

∂ z ∂ y = 1 1 + u 2 1 x

Após substituir u e simplificar, ficamos com

z y = x x 2 + y 2

Passo 4

Encontrando d x d t

x = e t

d x d t = d e t d t

d x d t = e t

E agora encontrando d y d t

y = 1 - e - t

d y d t = d ( 1 - e - t ) d t

d y d t = - e t

Passo 5

Agora que temos todos os termos da nossa expressão podemos finalmente substituir!

d z d t =   ∂ z ∂ x ⋅ d x d t + ∂ z ∂ y ⋅ d y d t

d z d t = - y x 2 + y 2 e t + x x 2 + y 2 e - t

d z d t = - y e t + x e - t x 2 + y 2

Substituindo x = e t e y = 1 - e - t para ficarmos com uma função de t :

d z d t = - 1 - e - t e t + e t e - t e t 2 + 1 - e - t 2

A gente até poderia terminar aqui, mas não custa simplificar isso depois desse caminho todo, não é mesmo?

d z d t = 2 - e t e 2 t + 1 - e - t 2

Resposta

d z d t = 2 - e t e 2 t + 1 - e - t 2

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Seja z = x y , onde x = f ( u ) e y = g ( u ) . Supondo f e g diferenciáveis, f 1 = 2 , g 1 = - 2 , d x d u 1 = - 1 e d y d u 1 = 5 , calcule d z d u ( 1 ) .
Calcule (d z)/(d t) usando a regra da cadeia:z = y e^x + x e^y , x = cos t , y = sin t .
Suponha que z = f ( x , y ) é uma função de classe C 1 , f 1,3 = - 1 , ∂ f ∂ x 1,3 = 4 e ∂ f ∂ y 1,3 = - 3 . Sabe-se que a curva σ t = t 2 , 4 t - 1 , z t , t ∈ R , está contida no gráfico da função z
Calcule (del z)/(del u) e (del z)/(del v) usando a regra da cadeia:z = x^2 + y^2 , x = u * sin v , y = v * cos u
Calcule (del z)/(del u) e (del z)/(del v) determinando a função z (u , v) :z = x^2 y , x = (u)/(v) , y = u * e^v