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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.9 - Ex. 12

Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície ∬ c F → ⋅ d S → ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S .

F → x , y , z = x 4 i → - x 3 z 2 j → + 4 x y 2 z k →

S   é a superfície do sólido limitado pelo cilindro 1 = x 2 + y 2 e pelos planos z = x + 2   e   z = 0

Passo 1

E aê, pessoas lindas de my Brazeel! Tudo bem?

A questão nos deu o campo vetorial

F → x , y , z = x 4 i → - x 3 z 2 j → + 4 x y 2 z k →

E quer o cálculo da integral de superfície pelo Teorema do Divergente, onde temos uma superfície S limitada pelo cilindro

1 = x 2 + y 2

E pelos planos

z = x + 2   e   z = 0

Pessoas, pra calcular a integral de superfície pelo Teorema do Divergente, precisamos ter essa fórmula aqui:

∬ c F → ⋅ d S → = ∭ E ∇ ⋅ F → d V

Ou seja, temos que calcular o divergente ( ∇ ) do campo F → que é dado pelas derivadas parciais do campo:

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x F x + ∂ ∂ y F y + ∂ ∂ z ( F z )

Passo 2

No nosso campo vetorial, sabemos cada termo:

F → x , y , z = x 4 i → - x 3 z 2 j → + 4 x y 2 z k →

F x = x 4

F y = - x 3 z 2

F z = 4 x y 2

Assim, jogamos na fórmula calculando a divergência de F , fazendo as derivadas parciais de cada um:

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x x 4 + ∂ ∂ y - x 3 z 2 + ∂ ∂ z 4 x y 2 z

Resultando em

4 x 3 + 4 x y 2

Observe que a região de integração é um cilindro entre dois planos.

Em coordenadas cilíndricas temos

x = r c o s θ ; y = r s e n θ   e   z = z

x 2 + y 2 = r 2

No plano x y temos um círculo de raio 1 .

A região vai ser:

x 2 + y 2 = 1 z = x + 2 z = 0

Assim os limites das variáveis são:

0 ≤ z ≤ r c o s θ + 2 0 ≤ r ≤ 1 0 ≤ θ ≤ 2 π

E o diferencial de volume vai ser

d V = r d z d r d θ

O divergente do campo na nova parametrização é

4 x 3 + 4 x y 2

Ou melhor, substituindo x e y pelas coordenadas cilíndricas...

∇ ⋅ F → = 4 r 3 cos 3 ⁡ θ + 4 r 3 c o s θ s e n 2 θ

Agora é só colocar na integral!

Passo 3

Para a fórmula do Teorema do Divergente,

∭ E ∇ ⋅ F → d V

Substituímos os valores

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 r c o s θ + 2 4 r 4 cos 3 ⁡ θ + 4 r 4 c o s θ s e n 2 θ d z d r d θ

As integrais em z só fazem aparecer r cos ⁡ θ + 2 multiplicando cada termo

∫ 0 2 π ∫ 0 1 4 r 4 cos 3 ⁡ θ ( r c o s θ + 2 ) + 4 r 4 c o s θ s e n 2 θ ( r c o s θ + 2 ) d r d θ

Agora vamos abrir esses produtos

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ( 4 r 5 cos 4 ⁡ θ + 8 r 4 cos 3 ⁡ θ + 4 r 5 cos 2 ⁡ θ s e n 2 θ + 8 r 4 c o s θ s e n 2 θ ) d r d θ

Agora temos integrais de r 4 que dão r 5 5 e de r 5 que dão r 6 6   .

Como a variável r varia de 0 a 1 então só aparece agora um 1 5 onde tem r 4 e 1 6 onde tem r 5 .

= 2 3 ∫ 0 2 π cos 4 ⁡ θ d θ + 8 5 ∫ 0 2 π cos 3 ⁡ θ d θ + 2 3 ∫ 0 2 π s e n 2 θ cos 2 ⁡ θ d θ + 8 5 ∫ 0 2 π c o s θ s e n 2 θ   d θ

Calculando essas integrais, substituindo os limites de integração, chegaremos a:

π 2 + 0 + π 6 + 0 = 4 π 6

Ou melhor

∭ E ∇ ⋅ F → d V = 2 π 3

Beleza? 😉

Resposta

∭ E ∇ ⋅ F → d V = 2 π 3

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