Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.2 - Ex. 48
Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica (como no Exemplo 7). Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Fala galera, tudo bem?
O problema nos deu essa série aqui
E precisamos decidir se essa série é convergente ou divergente. E se convergir, precisamos achar sua soma! E agora?
Neste exercício temos que tentar perceber a melhor forma de resumirmos nosso denominador em 3 produtos onde o grau de seja . Assim vamos conseguir usar como guia o exemplo 7 mencionado e achar a soma via inspeção!
Mas relaxa, vou fazer com você!
Passo 2
Vamos observar o denominador da nossa série
E ver qual fatoração podemos fazer!
Neste caso podemos fazer fator comum e depois diferença de quadrados:
E neste ponto podemos fazer que
Tranquilo?
Passo 3
Agora vamos usar frações parciais para fazer a seguinte suposição
Assim teremos que
Onde teremos que
Assim nossa série se resume em
Bora abrir nossa série para ver como fica a soma?
Passo 4
Abrindo nossa série ficaremos com
Eu sei que pode ser difícil perceber, mas note: o segundo termo do primeiro parêntese mais o primeiro termo do segundo parêntese é igual ao terceiro termo do terceiro parêntese.
Teremos que isso sempre irá se repetir, logo todos esses termos serão anulados sobrando apenas
Essa é nossa soma!
Espero ter ajuado!