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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.9 - Ex. 10

Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície ∬ c F → ⋅ d S → ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S .

F → x , y , z = x 3 y i → - x 2 y 2 j → - x 2 y z k →

S   é a superfície do sólido limitado pelo hiperboloide x 2 + y 2 - z 2 = 1 e pelos planos z = - 2   e z = 2 .

Passo 1

E aê, gente legal! Tudo belezal?! 😉

Precisamos calcular a integral de superfície através do Teorema do Divergente. Temos um campo vetorial

F → x , y , z = x 3 y i → - x 2 y 2 j → - x 2 y z k →

Cujo fluxo de F ocorre através da superfície S , delimitada pelo hiperboloide

x 2 + y 2 - z 2 = 1

E pelos planos z = - 2   e z = 2 .

Pessoasss, pra gente calcular a integral de superfície pelo Teorema do Divergente, precisamos ter essa fórmula aqui:

∬ c F → ⋅ d S → = ∭ E ∇ ⋅ F → d V

Ou seja, temos que calcular o divergente ( ∇ ) do campo F → que é dado pelas derivadas parciais do campo:

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x F x + ∂ ∂ y F y + ∂ ∂ z ( F z )

Passo 2

Observando nosso campo vetorial, temos:

F → x , y , z = x 3 y i → - x 2 y 2 j → - x 2 y z k →

Assim, sabemos que

F x = x 3 y

F y = - x 2 y 2

F z = - x 2 y z

Fazendo as derivadas parciais de cada termo em relação a x , y e z :

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x x 3 y + ∂ ∂ y - x 2 y 2 + ∂ ∂ z - x 2 y z

Com isso, teremos

3 x 2 y - 2 x 2 y - x 2 y

Organizando, o resultado será

3 x 2 y - 3 x 2 y = 0

Passo 3

Ou seja, quando formos substituir isso dentro da fórmula do passo anterior, teremos que

∬ c F → ⋅ d S → = ∭ E ∇ ⋅ F → d V

Sabemos o resultado da divergência:

∬ c F → ⋅ d S → = ∭ E 0 d V

Logo,

∬ c F → ⋅ d S → = 0

Resposta

∬ c F → ⋅ d S → = 0

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