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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 8.4 - Ex. 13

13. Seja f x , y = x 3 ,   - 3 x 2 y   , γ 1 = t ,   e t 2 - 1 ,   0 ≤ t ≤ 1 e γ 2 = t , t 2 ,   0 ≤ t ≤ 1 .   Seja, n 1 a normal de γ 1 com componente y > 0 e n 2 a normal de γ 2 com componente y

Calcule

∫ γ 1   F ⋅ n d S

Passo 1

Primeiro temos que fazer uma errata. Afinal se estamos numa integral de linha não podemos ter um d S ( ou seja uma integração de seperficie ) temos que ter um d r (uma integral de uma única variável, uma linha) , Assim devemos escrever

∫ γ   F ⋅ n d S →   ∫ γ   F ⋅ n d r

Dito isso podemos começar. O nosso campo é

f x , y = x 3 ,   - 3 x 2 y  

Passo 2

Podemos usar o teorema da divergência. Que diz

∮ γ F ⋅ n d r =   ∫ ∫ ∇   . F d S

Ou seja temos que ter um contorno fechado para calcular. No nosso caso temos as curvas C1 e C2 , mas para podermos usar o teorema temos que fechar o ciclo com um curva C3

Passo 3

Se fossemos parametrizar C1 e integrar teríamos uma conta enorme e não tão trivial em mãos. Usando o teorema da divergência vamos economizar muito cálculo. Dessa forma

∮ γ ' F ⋅ n d r =   ∫ ∫ ∇   . F d S

Sendo que

∇   . F = 3 x 2 - 3 x 2 = 0

Logo

∮ γ ' F ⋅ n d r =   ∫ ∫ ∇   . F d S = 0

E como queremos apenas C1 podemos escrever que γ ' é a soma de todos os contornos

∮ γ ' F ⋅ n d r =   ∫ c 1   F ⋅ n d r + ∫ c 2   F ⋅ n d r + ∫ c 3   F ⋅ n d r = 0

∫ c 1   F ⋅ n d r =   - ∫ c 2   F ⋅ n d r -   ∫ c 3   F ⋅ n d r  

Passo 4

Vamos calcular

∫ c 3   F ⋅ n d r

Sendo que estamos percorrendo o eixo y, logo podemos escrever que estamos na reta

g   : x = 0

E com parametrização

C 3   t = 0 , t

0 < t < 1

Dessa forma nossa função parametrizada fica

F C 3 t = 0,0

Já que nossa função é nula, nossa integração também é nula

∫ c 3   F ⋅ n d r = 0

Passo 5

Agora so nos resta calcular

∫ c 2   F ⋅ n d r

Estamos na reta com a seguinte parametrização

C 2 = t , t 2

C 2 ' = 1,2 t

0 ≤ t ≤ 1

Assim nossa função parametrizada fica

F C 2 t = t 3 , - 3 t 4

Agora so nos resta calcular a normal. Podemos dizer então que nossa função g é

g   : y - x 2 = 0

Dessa forma a normal fica

n = ∇ g ∇ g

n = - 2 x , 1 4 x 2 + 1

Parametrizando temos

n t = - 2 t , 1 4 t 2 + 1

Temos que tomar cuidado com o sinal, afinal o enunciado diz que a normal tem que apontar para fora, assim vamos inverter o sinal de n

n t = 2 t , - 1 4 t 2 + 1

Passo 6

Agora que já temos tudo podemos finalmente integrar

∫ 2   F ⋅ n d r =   ∫ t 1   t 2 F ( C 2 ( t ) ) ⋅ n t C 2 ' ( t ) d t  

∫ 0   1 t 3 , - 3 t 4 ⋅ 2 t , - 1 4 t 2 + 1 4 t 2 + 1 d t  

∫ 0   1 2 t 4 + 3 t 4 d t  

∫ 0   1 5 t 4 d t → t 5 0 1

= 1

Por fim para saber o Valor de C1 basta aplicar os valores na relação que criamos la em cima

∫ c 1   F ⋅ n d r =   - ∫ c 2   F ⋅ n d r -   ∫ c 3   F ⋅ n d r  

∫ c 1   F ⋅ n d r =   - 1 -   0 =   - 1  

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ γ 1   F ⋅ n d S = - 1

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