Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 8.4 - Ex. 13
13. Seja , e Seja, a normal de com componente e a normal de com componente y
Calcule
Passo 1
Primeiro temos que fazer uma errata. Afinal se estamos numa integral de linha não podemos ter um ( ou seja uma integração de seperficie ) temos que ter um (uma integral de uma única variável, uma linha) , Assim devemos escrever
Dito isso podemos começar. O nosso campo é
Passo 2
Podemos usar o teorema da divergência. Que diz
Ou seja temos que ter um contorno fechado para calcular. No nosso caso temos as curvas C1 e C2 , mas para podermos usar o teorema temos que fechar o ciclo com um curva C3
Passo 3
Se fossemos parametrizar C1 e integrar teríamos uma conta enorme e não tão trivial em mãos. Usando o teorema da divergência vamos economizar muito cálculo. Dessa forma
Sendo que
Logo
E como queremos apenas C1 podemos escrever que é a soma de todos os contornos
Passo 4
Vamos calcular
Sendo que estamos percorrendo o eixo y, logo podemos escrever que estamos na reta
E com parametrização
Dessa forma nossa função parametrizada fica
Já que nossa função é nula, nossa integração também é nula
Passo 5
Agora so nos resta calcular
Estamos na reta com a seguinte parametrização
Assim nossa função parametrizada fica
Agora so nos resta calcular a normal. Podemos dizer então que nossa função g é
Dessa forma a normal fica
Parametrizando temos
Temos que tomar cuidado com o sinal, afinal o enunciado diz que a normal tem que apontar para fora, assim vamos inverter o sinal de n
Passo 6
Agora que já temos tudo podemos finalmente integrar
Por fim para saber o Valor de C1 basta aplicar os valores na relação que criamos la em cima
Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução
: )