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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 8.4 - Ex. 3

3. Seja

F   = x x 2 + y 2 5 , y x 2 + y 2 5  

E n a normal unitária exterior ao circulo x 2 + y 2 ≤ 1 . Calcule

∫ γ   F ⋅ n d S

Onde γ t = cos ⁡ t , sin ⁡ t ,   0 < t < π

Sugestao , verifique que F ⋅ n é constante

Passo 1

Primeiro temos que fazer uma errata. Afinal se estamos numa integral de linha não podemos ter um d S ( ou seja uma integração de seperficie ) temos que ter um d r (uma integral de uma única variável, uma linha) , Assim devemos escrever

∫ γ   F ⋅ n d S →   ∫ γ   F ⋅ n d r

Passo 2

Podemos parametrizar essa integração para que fique neste formato

∫ γ   F ⋅ n d r = ∫ t 1   t 2 F γ t ⋅ n t | γ ' t | d t

O enunciado nos diz que F ⋅ n é constante. Vamos então parametrizar F e N. Sendo

γ t = cos ⁡ t , sin ⁡ t  

γ ' t = - sin ⁡ t   ,   c o s   t ,

0 < t < π

Assim nossa função fica

F = cos ⁡ t cos 2 ⁡ t + sin ² ⁡ t 5 , sin ⁡ t cos 2 ⁡ t + sin ² ⁡ t 5  

F = cos ⁡ t , sin ⁡ t

Passo 3

Vamos calcular a normal agora:

n = ∇ g ∇ g

Sendo g nossa equação do circulo

g   : x 2 + y 2 - 1 = 0

Logo nossa normal fica

n = 2 x   , 2 y 4 x 2 + 4 y 2   → x , y 1

Lembrando que nesta seção temos que parametrizar a normal também, assim temos que

n = cos ⁡ t , sin ⁡ t

Passo 4

Agora sim podemos calcular nossa integral

∫ t 1   t 2 F γ t ⋅ n t γ ' t d t

∫ 0   π cos ⁡ t , sin ⁡ t ⋅ cos ⁡ t , sin ⁡ t sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t d t

∫ 0   π 1 d t

Afinal

cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t = 1

E por fim

∫ 0   π 1 d t = π

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ γ   F ⋅ n d S = π

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