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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 8.4 - Ex. 12

12. Seja f x , y = x 10 ,   3 x - 10 x 9 y

Calcule

∫ γ   F ⋅ n d S

Onde γ e n estão dados pela figura abaixo

Passo 1

Primeiro temos que fazer uma errata. Afinal se estamos numa integral de linha não podemos ter um d S ( ou seja uma integração de seperficie ) temos que ter um d r (uma integral de uma única variável, uma linha) , Assim devemos escrever

∫ γ   F ⋅ n d S →   ∫ γ   F ⋅ n d r

Dito isso podemos começar. O nosso campo é

f x , y = x 10 ,   3 x - 10 x 9 y

Passo 2

Podemos usar o teorema da divergência. Que diz

∮ γ F ⋅ n d r =   ∫ ∫ ∇   . F d S

Ou seja temos que ter um contorno fechado para calcular

Contudo nossa região que queremos calcular é apenas C2. Então vamos precisar usar de truques para resolver.

Passo 3

Se fossemos parametrizar C2 e integrar teríamos uma conta enorme e não tao trivial em mãos. Podemos então fazer o seguinte usar o teorema da divergência em toda a região fechada

∮ γ ' F ⋅ n d r =   ∫ ∫ ∇   . F d S

Sendo que

∇   . F = 10 x 9 - 10 x 9 = 0

Logo

∮ γ ' F ⋅ n d r =   ∫ ∫ ∇   . F d S = 0

E como queremos apenas C2 podemos escrever que γ ' é a soma de todos os contornos

∮ γ ' F ⋅ n d r =   ∫ c 1   F ⋅ n d r + ∫ c 2   F ⋅ n d r + ∫ c 3   F ⋅ n d r = 0

∫ c 2   F ⋅ n d r =   - ∫ c 1   F ⋅ n d r -   ∫ c 3   F ⋅ n d r  

Esse truque facilita porque calcular a função nos eixos coordenados é sempre mais fácil

Passo 4

Vamos calcular

∫ c 1   F ⋅ n d r =   ∫ t 1   t 2 F ( C 1 ( t ) ) ⋅ n t C 1 ' ( t ) d S  

Estamos percorrendo o eixo x logo pode escrever que estamos na reta

g   : y = 0

Assim, para facilitar o nosso cálculo, vamos parametrizar essa reta:

C 1 t = t , 0

C 1 ' t = 1,0

0 < t < 1

Entoa nossa função parametrizada seria

F C 1 t = t 10 ,   3 t

Agora só falta calcularmos a normal, um jeito de fazermos isso é

n = ∇ g ∇ g

n = 0,1 1

So temos que pensar agora no sinal da normal, se a normal for positiva logo é vai apontar para dentro da nossa fração de circulo, se quiser que aponte para fora, como mostra a figura do enunciado, logo a normal tem que ser negativa. Vamos unir o que já calculamos na nossa integral

∫ t 1   t 2 F C 1 t ⋅ n t C 1 ' t d S

∫ 0 1 t 10 ,   3 t ⋅ 0 , - 1 1,0 d S

∫ 0 1 3 t d S → - 3 2

Passo 5

Vamos calcular

∫ C 3     F ⋅ n d r =   ∫ t 1   t 2 F ( C 3 ( t ) ) ⋅ n t C 3 ' ( t ) d t  

Estamos percorrendo o eixo y logo pode escrever que estamos na reta

g   : y = 0

Assim, para facilitar o nosso cálculo, vamos parametrizar essa reta:

C 3 t = 0 , t

C 3 ' t = 0 , 1

0 < t < 1

Entoa nossa função parametrizada seria

F C 3 t = 0,0

E como nossa função é nula. Podemos de cara dizer que

∫ C 3     F ⋅ n d r = 0

Passo 6

Assim podemos dizer que

∫ c 2   F ⋅ n d r =   - ∫ c 1   F ⋅ n d r -   ∫ c 3   F ⋅ n d r  

∫ c 2   F ⋅ n d r =   3 2 -   0 → 3 2  

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ γ   F ⋅ n d S = 3 2

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