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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 8.4 - Ex. 7 -a

7. Sejam f (x, y) e g (x, y) duas funções a valores reais, de classe C2, no aberto Ω de ℝ2. Seja γ : [a, b] → Ω uma curva regular, fechada, simples, orientada no sentido anti-horário, fronteira de um compacto K, com interior não vazio e contido em Ω; seja a normal exterior a K. Prove

∮ γ ∂ g ∂ n →   d s =   ∫ ∫ k ∇ 2 g d x d y  

( ∂ g ∂ n → = é a derivada direcional de g na direção n → e ∇ 2 g o laplaciano de g )  

Passo 1

Te garanto que essa resolução é mais tranquila que você imagina. Nós vamos pegar um teorema da divergência e alterar apenas um pouquinho. Observe só. O enunciado diz que

∮ γ ∂ g ∂ n →   d s =   ∫ ∫ k ∇ 2 g d x d y  

E sabemos que as derivadas direcionais ∂ g ∂ n → podem ser expressas da seguinte maneira

∂ g ∂ n → =   ∇ → g   .   n →

Então vamos reescrever nossa igualdade

∮ γ ∇ → g   .   n →   d s =   ∫ ∫ k ∇ 2 g d x d y  

Passo 2

E também sabemos que o Laplaciano

∇ 2 = d ² d x ² + d ² d y ² + d ² d z ²

Pode ser expresso como

∇ 2 g = ∇   .   ( ∇ g )    

Ou seja Laplaciano é o Divergente do Gradiente. Vamos reescrever nossa equação novamente

∮ γ ∇ → g   .   n →   d s =   ∫ ∫ k ∇   .   ( ∇ → g )   d x d y  

Passo 3

Temos o teorema da divergência que diz

∫ γ F → . n → d s =   ∬ R ∇ . F →   d A

Se nossa função F for

F → =   ∇ → g  

Isso satisfaz nossa equação. Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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