5. Seja

F(x, y) = x / ((x^2 + y^2)^(α)) + y / ((x^2 + y^2)^(α)) j

Determine alpha para que F → seja solenoidal. Desenhe o campo

Passo 1

Como o enunciado anterior já nos deu a dica, para uma função ser solenoidal

∇ . F → = 0

Isso significa que nosso campo vetorial não tem fonte – ou seja não convergente nem divergente a partir de nenhum ponto. E tem formato circular.

Passo 2

∇ . F → = 0

Implica que

d d x x   ( x 2 + y 2 ) α         + d d y y   ( x 2 + y 2 ) α         = 0

x 2 + y 2 - 2 x 2 α x 2 + y 2 1 + α + y 2 + x 2 - 2 y 2 α y 2 + x 2 1 + α   =   0

2   ( 1 - α ) x 2 + y 2 α = 0

Passo 3

Logo para que não exista fonte é preciso que

α = 1

E obtemos assim a seguinte função

F → x , y = x   x 2 + y 2         i → + y x 2 + y 2 j →

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

α = 1

F → x , y = x   x 2 + y 2         i → + y x 2 + y 2 j →

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