Enunciado

Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.

Passo 1

Para resolvermos esse exercício, vamos precisar encontrar quais são as funções que delimitam y ou x e integrar para esse intervalo.

Passo 2

Temos que ficará mais simples calcular essa integral pelo teorema de Green se fixarmos x e variarmos o y . Assim, temos que nosso intervalo para x será 0 ≤ x ≤ 2 e em y será x ≤ y ≤ 2 ⋅ x , pois ambas retas limitam o intervalo de y . Assim, como a curva é fechada, podemos aplicar o teorema de Green, ficando com.

∫ C F → ⋅ d r → = ∫ ∫ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y ⋅ d A =

= ∫ ∫ D ∂ ∂ x 2 ⋅ x 2 ⋅ y - ∂ ∂ y x ⋅ y 2 ⋅ d A = ∫ 0 2 ∫ x 2 ⋅ x 4 ⋅ x ⋅ y - 2 ⋅ x ⋅ y ⋅ d y ⋅ d x =

= ∫ 0 2 ∫ x 2 ⋅ x 2 ⋅ x ⋅ y ⋅ d y ⋅ d x = ∫ 0 2 2 ⋅ x ⋅ y 2 2 x 2 ⋅ x = ∫ 0 2 x ⋅ 4 ⋅ x 2 - x 2 ⋅ d x =

= 3 ⋅ x 4 4 0 2 = 3 4 ⋅ 2 4 - 0 3 = 16 ⋅ 3 4 = 12

Resposta

∫ C x ⋅ y 2 ⋅ d x + 2 ⋅ x 2 ⋅ y ⋅ d y = 12

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 5-14, utilize o teorema de Green para encontrar a circulação em sentido anti-horário e o fluxo exterior para o campo F e a curva C. F = x + e x s e n ⁡ y i + x + e x c o s ⁡ y j C : O l
Utilize a fórmula da área do teorema de Green fornecida acima para encontrar as áreas das regiões delimitadas pelas curvas nos Exercícios 25-28A elipse r(t) = (a cos t)i + (b sen t)j, 0 ≤ t ≤ 2p
Nos Exercícios 5-14, utilize o teorema de Green para encontrar a circulação em sentido anti-horário e o fluxo exterior para o campo F e a curva C.F = (x + y)i – (x2 + y2)jC: O triângulo limitado por y
Nos Exercícios 1-4, verifique a conclusão do teorema de Green calculando ambos os lados das Equações 3 e 4 para o campo F = M i + N j . Tome os domínios de integração em cada caso como sendo o disco R
Seja C a fronteira de uma região na qual o teorema de Green é válido. Utilize o teorema de Green para calculara. ∮C f ( x ) d x + y ( y ) d y b. ∮C k y d x + h x d y( k e h constantes).