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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.3 - Ex. 36

Um irrigador agrícola distribui água em um padrão circular com raio de 100 pés. Ele fornece água a uma profundidade de e - r pés por hora a uma distância de r pés do irrigador.

  1. Se 0 < R ≤ 100 , qual é a quantidade total de água fornecida por hora para a região dentro do círculo de raio R centrado no irrigador?

(b) Determine uma expressão para a quantidade média de água fornecida por hora por pé quadrado para a região dentro do círculo de raio R .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Observe que ele menciona que temos um irrigador agrícola que distribui água em um padrão circular com raio de 100 pés, com uma profundidade que segue o padrão da expressão:

f x , y = e - r

Observe que ele já nos forneceu uma expressão em coordenadas polares, pois está em função do raio.

Para o item (a), temos o raio variando de 0 < R ≤ 100 e precisamos determinar a quantidade média de água fornecida dentro do círculo de raio R .

Logo teremos que aplicar a equação abaixo, em coordenadas polares:

∬ D f ( x , y ) d A

Sabendo que é um círculo, logo:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ  

d A = r d r d θ

E a região D é:

D = r , θ | 0 < r ≤ 100 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π

O raio ele nos forneceu, vai de 0 a 100 , e como é um círculo completo sabemos que vai de 0 a 2 π .

Para resolver o item (b)onde devemos determinar uma expressão para a quantidade média de água fornecida por metro quadrado, precisamos lembrar como é calculado o valor médio dentro de uma região. Utilizamos a formula abaixo:

μ = ∬ D f x , y d A ∬ D d A

Mas lembre-se que queremos achar uma expressão em função do raio R , logo a região é:

D = r , θ | 0 < r ≤ R ,   0 ≤ θ ≤ 2 π

Com essas informações em mãos, podemos começar a calcular! Bora lá.

Passo 2

Item (a)

Vamos lembrar da expressão em coordenadas polares fornecida no enunciado:

f ( x , y ) = e - r

Temos que calcular:

∬ D f ( x , y ) d A

Onde,

D = r , θ | 0 < r ≤ 100 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π

d A = r d r d θ

Sabendo disso, temos que:

∫ 0 2 π ∫ 0 100 e - r r d r d θ

Agora precisamos resolver as integrais. Mas lembre-se, começamos integrando de dentro para fora.

Passo 3

Resolvendo a integral de dentro em d r , temos:

∫ 0 2 π ∫ 0 100 r e - r d r d θ

Precisamos aplicar a regra de integrais por partes, do tipo:

u v - ∫ v d u

Vamos ficar com a seguinte expressão:

∫ 0 2 π - r e - r - ∫ - e - r d r 0 100 d θ

∫ 0 2 π - r e - r - e - r 0 100 d θ

Aplicando os limites de integração em r ainda:

∫ 0 2 π - e - 100 1 + 100 - e 0 0 + 1 d θ

Temos:

∫ 0 2 π - 101 e - 100 - 1 d θ

Passo 4

Agora precisamos resolver uma integral simples em d θ . ∫ 0 2 π - 101 e - 100 - 1 d θ

Resolvendo, temos:

= - 101 e - 100 - 1 θ 0 2 π

Aplicando os limites:

= - 101 e - 100 - 1 2 π

Logo, a quantidade total de água é igual a:

2 π 1 - 101 e - 100

Passo 5

Para o Item (b):

Precisamos calcular o valor médio que é dado por:

μ = ∬ D f x , y d A ∬ D d A

Vamos começar calculando a integral do numerador:

∬ D f x , y d A

Sabemos que:

D = r , θ | 0 < r ≤ R ,   0 ≤ θ ≤ 2 π

d A = r d r d θ

Logo, temos:

∫ 0 2 π ∫ 0 R e - r r d r d θ

Começando a integrar de dentro para fora. Vamos ter:

∫ 0 2 π ∫ 0 R r e - r d r d θ

Precisamos aplicar a regra de integrais por partes, do tipo:

u v - ∫ v d u

Vamos ter a expressão:

∫ 0 2 π - r e - r - ∫ - e - r d r 0 R d θ

∫ 0 2 π - r e - r - e - r 0 R d θ

Aplicando os limites de integração em r ainda:

∫ 0 2 π - e - R 1 + R + e 0 0 + 1 d θ

Temos:

∫ 0 2 π - e - R R + 1 + 1 d θ

Passo 6

Agora resolvemos a integral simples em d θ .

∫ 0 2 π - e - R R + 1 + 1 d θ

Integrando:

- e - R R + 1 + 1 ( θ ) 0 2 π

Aplicando os limites de integração, vamos ter:

∬ D f x , y d A = 2 π - e - R R + 1 + 1

Passo 7

Logo, nos resta determinar a integral do denominador:

∬ D d A

Vamos lembrar que queremos determinar uma expressão logo nosso raio deve varia até um R qualquer.

D = r , θ | 0 < r ≤ R ,   0 ≤ θ ≤ 2 π

d A = r d r d θ

Logo,

∬ D d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 R r d r d θ

Resolvendo de dentro para fora, temos:

∫ 0 2 π r 2 2 0 R d θ

Aplicando os limites, temos que:

∫ 0 2 π R 2 2 d θ

Passo 8

Agora ficamos com uma integral simples em d θ .

Integrando, vamos ter:

= R 2 2 2 π

= π R 2

Portanto, temos:

∬ D d A =   π R 2

Agora que encontramos ambas as integrais:

∬ D f x , y d A = 2 π - e - R R + 1 + 1

∬ D d A =   π R 2

Vamos substituir na equação do valor médio:

μ = ∬ D f x , y d A ∬ D d A

Assim, temos:

μ = 2 π - e - R R + 1 + 1   π R 2

Simplificado e reorganizando, vamos ter que o valor médio é:

μ = 2 R 2 1 - e - R R + 1

Resposta

a ) 2 π 1 - 101 e - 100  

b ) μ = 2 R 2 1 - e - R R + 1

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2. Seja B um compacto com fronteira de conteúdo nulo e com interior nãovazio e seja δ (x, y) contínua em B. Seja α ≠ 0 um real dado. Considere amudança de coordenadas x , y = s u + t v Onde u = cos ⁡
Calcule, usando mudança polar, as seguintes integrais: ∫ ∫ D d xd y 1 + x 2 + y 2 2 , onde D = { ( x , y ) ∈ R 2 | x 2 + y 2 ≤ 4 }
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