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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.2 - Ex. 22

Calcule a integral de linha ∫ C F → ∙ d r → , onde C é dada pela função vetorial r → t .

F → x ,   y = z   i ^ - y   j ^ - x   k ^  

r → t = t   i ^ + sen ⁡ t j ^ + cos ⁡ t k ^ ,     0 ≤ t ≤ π

Passo 1

Faala, pessoal!

Nessa questão precisamos calcular uma integral de linha.

Vamos lembrar que uma integral de linha calculamos assim:

∫ C F → ∙ d r → = ∫ a b F → r → t ∙ r → ' t d t

Onde r → t é uma parametrização de C , com a ≤ t ≤ b .

Então, como já temos a parametrização r →   , vamos começar calculando a derivada r → ' , que é só derivar cada uma das componentes em função de t .

Com isso, podemos aplicar essa fórmula da integral de linha.

Passo 2

Bom, nossa curva é

r → t = t   i ^ + sen ⁡ t j ^ + cos ⁡ t k ^

= t , sen ⁡ t , cos ⁡ t

Derivando cada uma das coordenadas:

r → ' t = d d t t , d d t sen ⁡ t , d d t cos ⁡ t

r → ' t =

Como temos 0 ≤ t ≤ π , a integral fica:

∫ C F → ∙ d r → = ∫ 0 π F → t , sen ⁡ t , cos ⁡ t ∙ 1 , cos ⁡ t , - sen ⁡ t d t =

Calculando com F → x , y , z = z , - y , - x :

= ∫ 0 π cos ⁡ t , - sen ⁡ t , - t ∙ 1 , cos ⁡ t , - sen ⁡ t d t =

Agora multiplicamos coordenada a coordenada e somamos:

= ∫ 0 π cos ⁡ t + - sen ⁡ t ∙ cos ⁡ t + - t ∙ - sen ⁡ t d t =

∫ C F → ∙ d r → = ∫ 0 π cos ⁡ t - sen ⁡ t cos ⁡ t + t sen ⁡ t d t

Passo 3

Agora vamos calcular essa integral:

∫ C F → ∙ d r → = ∫ 0 π cos ⁡ t - sen ⁡ t cos ⁡ t + t sen ⁡ t d t

Separamos em três integrais:

∫ C F → ∙ d r → = ∫ 0 π cos ⁡ t d t - ∫ 0 π sen ⁡ t cos ⁡ t d t + ∫ 0 π t sen ⁡ t d t

Vamos calcular uma por uma.

A primeira:

∫ 0 π cos ⁡ t d t = sen ⁡ t 0 π =

= sen ⁡ π - sen ⁡ 0 = 0 - 0 = 0

A segunda:

∫ 0 π sen ⁡ t cos ⁡ t d t =

Vamos fazer uma substituição u = sen ⁡ t :

d u = cos ⁡ t d t

u 0 = 0

u π = 0

Então:

= ∫ 0 0 u d u = 0

E a última:

∫ 0 π t sen ⁡ t d t =

Vamos integrar por partes, com:

u = t ⇒ d u = d t

d v = sen ⁡ t d t ⇒ v = - cos ⁡ t

Então

= - t cos ⁡ t 0 π - ∫ 0 π - cos ⁡ t d t =

= - π ∙ cos ⁡ π + 0 ∙ cos ⁡ 0 - - sen ⁡ t 0 π =

E fica:

= π + sen ⁡ π - sen ⁡ 0 = π

Passo 4

Então, a integral fica:

∫ C F → ∙ d r → = ∫ 0 π cos ⁡ t d t - ∫ 0 π sen ⁡ t cos ⁡ t d t + ∫ 0 π t sen ⁡ t d t

= 0 - 0 + π

⇒ ∫ C F → ∙ d r → = π

Resposta

∫ C F → ∙ d r → = π

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