Enunciado

Use o teorema do “sanduíche” para encontrar o limite.

lim x → 3 ⁡ g x ,   s e   g x + 4   < 2 3 - x 4   para todo x .

Passo 1

Pelos dados do enunciado podemos fazer a seguinte afirmação:

0 ≤ g x + 4 < 2 3 - x 4

Passo 2

Agora vamos tirar o módulo de g x + 4 e subtrair 4 em toda a expressão.

- 2 3 - x 4 < g x + 4 < 2 3 - x 4

- 2 3 - x 4 - 4 < g x < 2 3 - x 4 - 4

Passo 3

Agora apliquemos limite de x tendendo a 3 em toda a expressão e resolvemos os limites.

lim x → 3 ⁡ - 2 3 - x 4 - 4 < lim x → 3 ⁡ g x < lim x → 3 ⁡ 2 3 - x 4 - 4

- 2 3 - 3 4 - 4 < lim x → 3 ⁡ g x < 2 3 - 3 4 - 4

- 2 0 4 - 4 < lim x → 3 ⁡ g x < 2 0 4 - 4

- 4 < lim x → 3 ⁡ g x < - 4

Como lim x → 3 ⁡ - 2 3 - x 4 - 4 que é menor que lim x → 3 ⁡ g x e lim x → 3 ⁡ 2 3 - x 4 - 4 que é maior que lim x → 3 ⁡ g x convergem para - 4 , então pelo teorema do “sanduíche”   lim x → 3 ⁡ g x é igual - 4 .

Resposta

lim x → 3 ⁡ g x = - 4

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