Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.8 - Ex. 5

Use o teorema de Stokes para calcular .

, �� formada pelo topo e pelos quatro lados (mas não pelo fundo) do cubo com vértices , com orientação para fora. (Sugestão: use a equação .)

Passo 1

Oi galera, tudo bem?

Nessa questão precisamos calcular uma integral de superfície de um rotacional, usando o teorema de Stokes. Ela sugere usarmos a equação , que é essa:

Onde e são duas superfícies com como fronteira.

Nossa superfície é:

é formada pelo topo e pelos quatro lados (mas não pelo fundo) do cubo com vértices , com orientação para fora.

Vamos considerar as superfícies e é o fundo que não é considerado do cubo.

A curva é esse quadrado azul, e a superfície é a superfície desse quadrado (em rosa mais claro). Tanto quanto estão na altura .

O que vamos fazer é calcular a integral:

Pra isso, começamos pelo , depois parametrizar e fazer:

Passo 2

Bom, vamos começar calculando o rotacional de :

Como nosso campo é

Então:

Passo 3

Primeiro a coordenada do rotacional:

Derivando em função de , com constantes:

Então:

Passo 4

A segunda coordenada:

Derivando em função de , com constantes:

Daí:

Passo 5

E a última coordenada do rotacional:

Derivando em função de , com constantes:

E aí:

Então o rotacional fica:

Passo 6

Agora precisamos parametrizar essa superfície .

Como ela é parte do plano :

E como é um quadrado, com as coordenadas indo de até :

Passo 7

Pra calcular , vamos fazer as derivadas de :

E então:

Passo 8

Tá quase acabando...

Agora vamos aplicar a nossa parametrização

No rotacional

Então:

E a integral fica:

Vamos resolver isso!

Passo 9

Fazendo o produto escalar, que é simplesmente multiplicar coordenada a coordenada e somar:

Só que esse é o quadrado :

Integrando primeiro em função de , com constante:

Aplicando os limites de integração:

Integrando em função de :

Ou seja:

Resposta

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