Use o teorema de Stokes para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

F → x , y , z = x y i → + 2 z j → + ( 3 y ) k → , C é a curva de intersecção do plano x + z = 5 e do cilindro x 2 + y 2 = 9 .

Passo 1

Oi galera, tudo bem? A curva de fronteira está no plano z = 5 - x

Assim z = g x , y = 5 - x .

E o vetor normal a essa superfície vai ser n → = - ∂ z ∂ x ,   - ∂ z ∂ y ,   1 :

n → = - ∂ z ∂ x ,   - ∂ z ∂ y ,   1 = ( 1,0 ,   1 )

Legal! O próximo passo é determinar a região de integração. A projeção no plano x y é um círculo de raio 3 . Em coordenadas polares temos x = r c o s θ e   y = r s e n ( θ ) e os limites vão ser:

0 ≤ r ≤ 3 0 ≤ θ ≤ 2 π

E o elemento de área vai ser: d A = r d r d θ

Passo 2

Legal! O próximo passo é determinar o rotacional de F → :

∇ × F → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z x y 2 z 3 y = i → ∂ ∂ y ( 3 y ) - ∂ ∂ z ( 2 z ) + j → ∂ ∂ z ( x y ) - ∂ ∂ x ( 3 y ) + k → ∂ ∂ x ( 2 z ) - ∂ ∂ y ( x y )

∇ × F → = 1,0 , - x

O produto escalar entre ∇ × F → e n → fica:

∇ × F → ⋅ n → = 1,0 , - x ⋅ 1,0 , 1 = 1 - x = 1 - r c o s ( θ )

Passo 3

Agora é colocar tudo na integral:

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 ( 1 - r c o s ( θ ) ) r d r d θ = ∫ 0 2 π r 2 2 0 3 + r 3 3 cos ⁡ θ 0 3 d θ = ∫ 0 2 π 9 2 d θ -   ∫ 0 2 π 9 cos ⁡ θ d θ = 9 2 . 2 π + 0 = 9 π

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = 9 π

Resposta

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = 9 π

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