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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.8 - Ex. 6

Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r l   F → ⋅ d S .

F → x , y , z = e x y c o s c o s   z   i → + x 2 z j → + x y k → , S é o hemisfério x = 1 - y 2 - z 2 orientado na direção positiva do eixo x . (Sugestão: use a equação 3 .)

Passo 1

Fala ai pessoal, o exercício quer que a gente calcule ∬ S c u r l   F → ⋅ d S através do teorema de stokes:

sabendo que F → x , y , z = e x y c o s   z   i → + x 2 z j → + x y k → , S é o hemisfério x = 1 - y 2 - z 2 orientado na direção positiva do eixo x .

O enunciado nos dá a dica de usar a equação:

∬ S 1 r o t   F → ⋅ d S = ∬ C   F → ⋅ d r = ∬ S 2 r o t   F → ⋅ d S

Onde a curva podemos deduzir pela equação:

x = 1 - y 2 - z 2

Que é a mesma coisa que:

x 2 = 1 - y 2 - z 2

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Logo a curva C é um círculo de raio 1 .

Onde S 1 é o hemisfério original, sem o fundo e S 2 é a esfera inteira. O legal dessa igualdade é que tu podes simplificar sua vida escolhendo uma superfície mais fácil de integrar, desde que as duas superfícies sejam limitadas pela mesma curva de fronteira.

Bastante informação, né? Mas calma que vamos fazer juntos!!

Primeiro vamos começar calculando o rotacional de F → através da fórmula:

r o t   F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Para isso precisamos achar as derivadas parciais do jeito que está acima , depois de achar o rotacional precisaremos fazer o produto escalar:

∇ × F → • i →

Feito isso iremos determinar a região de integração parametrizando a curva .

Logo é só substituir tudo na integral, fazer a conta e pronto!!!

Passo 2

Vamos calcular o rotacional de:

F → x , y , z = e x y c o s   z   i → + x 2 z j → + x y k →

Lembrando que a fórmula é:

r o t   F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

e

F = P i + Q j + R k .

Vamos começar pelas derivadas parciais.

∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i

Assim:

∂ R ∂ y = ∂ ∂ y ( x y )

∂ ∂ y (   x y ) = x

e

∂ Q ∂ z = ∂ ∂ z ( x 2 z )

∂ ∂ z ( x 2 z ) = x 2

Substituindo na fórmula do rotacional :

r o t   F = x - x 2 i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Passo 3

Agora vamos encontrar:

∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j

Assim:

∂ P ∂ z = ∂ ∂ z ( e x y c o s   z   )

∂ ∂ z ( e x y c o s   z   ) = - e x y s e n   z  

e

∂ R ∂ x = ∂ ∂ x (   x y )

∂ ∂ x (   x y ) = y

Substituindo em:

r o t   F = x - x 2 i + - e x y s e n   z   - y j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Passo 4

Agora vamos para o último passo que é encontrar

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Assim:

∂ Q ∂ x = ∂ ∂ x ( x 2 z )

∂ ∂ x ( x 2 z ) = 2 x z

e

∂ P ∂ y = ∂ ∂ y ( e x y c o s   z )

∂ ∂ y ( e x y c o s   z ) = x e x y c o s z

Substituindo em:

r o t   F = x - x 2 i + - e x y s e n   z   - y j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Sendo assim, o rotacional de F → é:

∇ × F → = 〈 x - x 2 , �� - e x y s e n z - y ,   2 x z - x e x y c o s z 〉

Passo 5

O vetor normal tem a mesma orientação que i → , no sentido anti-horário visto de cima. Assim o produto escalar entre ∇ × F → e i → fica:

∇ × F → ⋅ i → = x - x 2 ,   - e x y s e n z - y , 2 x z - x e x y c o s z ⋅ 1,0 , 0

∇ × F → ⋅ i → = x - x 2 . 1 +   - e x y s e n z - y . 0 + 2 x z - x e x y c o s z . 0

Logo:

∇ × F → ⋅ i → = x - x 2

Passo 6

Legal! O próximo passo é determinar a região de integração. Como é um círculo em y z , podemos utilizar as coordenadas esféricas:

y = r c o s θ

z = r s e n θ

x = 1 - r 2

Logo, como queremos dar uma volta completa e sabemos que o raio é 1:

{ 0 ≤ r ≤ 1   0 ≤ θ ≤ 2 π  

E o elemento de área vai ser: d A = r d r d θ

Passo 7

Agora é colocar tudo na integral:

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = ∬ C   F → ⋅ d r

∫ 0 2 π ∫ 0 1 1 - r 2 - 1 - r 2 r d r d θ

Fazendo a distributiva:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 1 - r 2 - r - r 3 d r d θ

Para resolver de forma mais fácil podemos separá-la da seguinte forma:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 1 - r 2 d r d θ - ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r   d r d θ + ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3   d r d θ

Passo 8

Vamos resolver cada integral separadamente. Então a primeira do lado esquerdo:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 1 - r 2 d r d θ

Podemos escrevê-la:

∫ 0 2 π d θ ∫ 0 1 r 1 - r 2 d r

Resolvendo:

∫ 0 1 r 1 - r 2 d r

Vamos utilizar o método de substituição:

u = 1 - r 2

d x . u ' = d u

d x ( - 2 r ) = d u

d x = - d u 2 r

Substituindo na integral:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r u   . ( - d u 2 r )

- 1 3 ( u ) 3 2 0 1

Voltando com u = 1 - r 2 :

- 1 3 1 - r 2 3 2 0 1

- 1 3 1 - 1 + 1 3 1 - 0

Logo:

∫ 0 1 r 1 - r 2 d r = 1 3

então, substituindo em:

∫ 0 2 π 1 3 d θ

Resolvendo:

1 3 ∫ 0 2 π d θ = 2 π 3

Passo 9

Retomando a integral incial:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 1 - r 2 d r d θ - ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r   d r d θ + ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3   d r d θ

Logo:

2 π 3 - ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r   d r d θ + ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3   d r d θ

Vamos para a segunda fica:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r   d r d θ

∫ 0 2 π r 2 2 0 1 d θ

∫ 0 2 π 1 2 - 0 d θ

Resolvendo a próxima:

1 2 ∫ 0 2 π d θ

1 2 θ 0 2 π

- ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r   d r d θ = π

Logo:

2 π 3 - ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r   d r d θ + ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3   d r d θ

2 π 3 - π + ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3   d r d θ

Passo 10

E a terceira:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3   d r d θ

= ∫ 0 2 π r 4 4 0 1 d θ

∫ 0 2 π 1 4 4 - 0 d θ

Resolvendo a próxima:

1 4 ∫ 0 2 π d θ

1 4 θ 0 2 π

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3   d r d θ = π 2

Logo:

2 π 3 - π + ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3   d r d θ

2 π 3 - π + π 2

Juntando todos os resultados temos:

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = 2 π 3 - π + π 2 = π 6

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = π 6

Resposta

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = π 6

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