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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.8 - Ex. 8

Use o teorema de Stokes para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

F → x , y , z = e - x i → + e x j → + ( e z ) k → , C é a fronteira da parte do plano 2 x + y + 2 z = 2 no primeiro octante.

Passo 1

Oi galera, tudo bem? A curva de fronteira está no plano 2 x + y + 2 z = 2

Assim z = g x , y = 1 - x - y 2 .

E o vetor normal a essa superfície vai ser n → = - ∂ z ∂ x ,   - ∂ z ∂ y ,   1 :

n → = - ∂ z ∂ x ,   - ∂ z ∂ y ,   1 = ( 1 , 1 2 ,   1 )

Passo 2

Legal! O próximo passo é determinar a região de integração. Como é um plano com a delimitação do primeiro octante, os limites vão ser:

0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 2 - 2 x

E o elemento de área vai ser: d A = d y d x

Passo 3

Legal! O próximo passo é determinar o rotacional de F → :

∇ × F → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z e - x e x e z

∇ × F → = i → ∂ ∂ y ( e z ) - ∂ ∂ z ( e x ) + j → ∂ ∂ z ( e - x ) - ∂ ∂ x ( e z ) + k → ∂ ∂ x ( e x ) - ∂ ∂ y ( e - x )

∇ × F → = 0,0 , e x

O produto escalar entre ∇ × F → e n → fica:

∇ × F → ⋅ n → = 0,0 , e x ⋅ 1 , 1 2 ,   1 = e x

Passo 4

Agora é colocar tudo na integral:

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = ∫ 0 1 ∫ 0 2 - 2 x ( e x ) d y d x = ∫ 0 1 e x y 0 2 - 2 x d x = ∫ 0 1 2 - 2 x e x d x

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = 2 ∫ 0 1 e x d x - 2 ∫ 0 1 x e x d x

Vamos resolver as integrais separadamente. Então a primeira:

2 ∫ 0 1 e x d x = 2 e x 0 1 = 2 e 1 - 2 e 0 = 2 e - 2

E a segunda, por partes:

- 2 ∫ 0 1 x e x d x = - 2 x e x 0 1 - ∫ 0 1 e x   d x = - 2 x e x 0 1 - e x 0 1

- 2 1 e 1 - 0 - e 1 - 1 = - 2 e + 2 e - 2 = - 2

Agora juntando os resultados:

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = 2 e - 2 - 2 = 2 e - 4

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = 2 e - 4

Prontinho! :D

Resposta

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = 2 e - 4

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